В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l=2,4 м и массой m=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается…

Для решения задачи о вращении скамьи с человеком, который держит стержень, нужно использовать закон сохранения момента импульса.

Постановка задачи:

1. Вначале человек с вертикально установленным стержнем вращается с частотой \( n_1 = 1 \, \text{с}^{-1} \).
2. Стержень поворачивается в горизонтальное положение — мы хотим найти новую частоту вращения \( n_2 \).

Данные:

• Длина стержня \( l = 2.4 \, \text{м} \)
• Масса стержня \( m = 8 \, \text{кг} \)
• Частота \( n_1 = 1 \, \text{с}^{-1} \)
• Общий момент инерции \( J = 6 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \)

Шаг 1: Расчёт момента инерции стержня в вертикальном положении

Когда стержень вертикален, его момент инерции относительно оси вращения (которая проходит через центр стержня) считается как:

\[ J_{верт} = \frac{1}{3} m l^2 \]

Подставляем значения:

\[ J_{верт} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot (2.4)^2 = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 5.76 = \frac{46.08}{3} = 15.36 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Шаг 2: Определение общего момента инерции в вертикальном положении

Общий момент инерции, когда стержень вертикален:

\[ J_{1} = J + J_{верт} = 6 + 15.36 = 21.36 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Шаг 3: Определение угловой скорости

Угловая скорость \( \omega_1 \) для первого состояния с частотой \( n_1 \):

\[ \omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \, \text{рад/с} \]

Шаг 4: Расчёт момента импульса

Момент импульса можно выразить как:

\[ L_1 = J_{1} \cdot \omega_1 = 21.36 \cdot 2\pi \]

Шаг 5: Расчёт момента инерции стержня в горизонтальном положении

При горизонтальном положении стержня момент инерции рассчитывается по формуле:

\[ J_{гор} = \frac{1}{3} m l^2 + md^2 \]

где \( d = \frac{l}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2 \, \text{м} \). Подставляем:

\[ J_{гор} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot (2.4)^2 + 8 \cdot (1.2)^2 \]

Первый член равен \( 15.36 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \) (как мы посчитали ранее).

Второй член:

\[ J_{гор} = 8 \cdot 1.44 = 11.52 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Суммируем:

\[ J_{2} = J + J_{гор} = 6 + 15.36 + 11.52 = 33.84 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Шаг 6: Угловая скорость во втором состоянии

Сохраняем момент импульса:

\[ L_1 = L_2 \]

\[ 21.36 \cdot 2\pi = 33.84 \cdot \omega_2 \]

Решаем:

\[ \omega_2 = \frac{21.36 \cdot 2\pi}{33.84} \]

Чтобы найти \( n_2 \):

\[ \omega_2 = 2\pi n_2 \implies n_2 = \frac{21.36}{33.84} \cdot n_1 \]

Подставляем \( n_1 = 1 \, \text{с}^{-1} \):

\[ n_2 = \frac{21.36}{33.84} \cdot 1 \approx 0.632 \, \text{с}^{-1} \]

Ответ

Частота вращения \( n_2 \) скамьи с человеком после поворота стержня в горизонтальное положение составляет примерно \( 0.632 \, \text{с}^{-1} \).