Для решения задачи о вращении скамьи с человеком, который держит стержень, нужно использовать закон сохранения момента импульса.
Постановка задачи:
- Вначале человек с вертикально установленным стержнем вращается с частотой ( n_1 = 1 , \text{с}^{-1} ).
- Стержень поворачивается в горизонтальное положение — мы хотим найти новую частоту вращения ( n_2 ).
Данные:
- Длина стержня ( l = 2.4 , \text{м} )
- Масса стержня ( m = 8 , \text{кг} )
- Частота ( n_1 = 1 , \text{с}^{-1} )
- Общий момент инерции ( J = 6 , \text{кг} \cdot \text{м}^2 )
Шаг 1: Расчёт момента инерции стержня в вертикальном положении
Когда стержень вертикален, его момент инерции относительно оси вращения (которая проходит через центр стержня) считается как:
[
J_{верт} = \frac{1}{3} m l^2
]
Подставляем значения:
[
J_{верт} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot (2.4)^2 = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 5.76 = \frac{46.08}{3} = 15.36 , \text{кг} \cdot \text{м}^2
]
Шаг 2: Определение общего момента инерции в вертикальном положении
Общий момент инерции, когда стержень вертикален:
[
J_{1} = J + J_{верт} = 6 + 15.36 = 21.36 , \text{кг} \cdot \text{м}^2
]
Шаг 3: Определение угловой скорости
Угловая скорость ( \omega_1 ) для первого состояния с частотой ( n_1 ):
[
\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi , \text{рад/с}
]
Шаг 4: Расчёт момента импульса
Момент импульса можно выразить как:
[
L_1 = J_{1} \cdot \omega_1 = 21.36 \cdot 2\pi
]
Шаг 5: Расчёт момента инерции стержня в горизонтальном положении
При горизонтальном положении стержня момент инерции рассчитывается по формуле:
[
J_{гор} = \frac{1}{3} m l^2 + md^2
]
где ( d = \frac{l}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2 , \text{м} ). Подставляем:
[
J_{гор} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot (2.4)^2 + 8 \cdot (1.2)^2
]
Первый член равен ( 15.36 , \text{кг} \cdot \text{м}^2 ) (как мы посчитали ранее).
Второй член:
[
J_{гор} = 8 \cdot 1.44 = 11.52 , \text{кг} \cdot \text{м}^2
]
Суммируем:
[
J_{2} = J + J_{гор} = 6 + 15.36 + 11.52 = 33.84 , \text{кг} \cdot \text{м}^2
]
Шаг 6: Угловая скорость во втором состоянии
Сохраняем момент импульса:
[
L_1 = L_2
]
[
21.36 \cdot 2\pi = 33.84 \cdot \omega_2
]
Решаем:
[
\omega_2 = \frac{21.36 \cdot 2\pi}{33.84}
]
Чтобы найти ( n_2 ):
[
\omega_2 = 2\pi n_2 \implies n_2 = \frac{21.36}{33.84} \cdot n_1
]
Подставляем ( n_1 = 1 , \text{с}^{-1} ):
[
n_2 = \frac{21.36}{33.84} \cdot 1 \approx 0.632 , \text{с}^{-1}
]
Ответ
Частота вращения ( n_2 ) скамьи с человеком после поворота стержня в горизонтальное положение составляет примерно ( 0.632 , \text{с}^{-1} ).
