Решение

Для решения задачи используем свойства треугольников и тригонометрию. ### Дано: - \( \angle A = 45^\circ \) - \( \angle B = 75^\circ \) - \( AB = 2 \) см ### Найти: - \( \angle C \) - Сторону \( BC \) ### Решение: 1. **Найдем угол \( C \):** В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\): \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ 45^\circ + 75^\circ + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ \] 2. **Найдем сторону \( BC \) с помощью теоремы косинусов:** В данном случае полезнее использовать теорему синусов, так как у нас известны два угла и одна противолежащая сторона: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] Подставим известные значения: \[ \frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 45^\circ} \] Известно, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Упростим уравнение: \[ \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{BC \cdot 2}{\sqrt{2}} \] \[ BC = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] Упростим выражение, домножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ BC = \frac{4 \cdot \sqrt{6}}{3} \] Таким образом, угол \( C \) равен \( 60^\circ \), а сторона \( BC \) имеет длину \(\frac{4 \cdot \sqrt{6}}{3}\) см.