Цилиндрическое тело небольшой высоты плавает на поверхности жидкости, которая находится в ёмкости. На одной вертикальной линии с центром тела на глубине 35 см расположен точечный…

Чтобы решить задачу о том, каков должен быть минимальный диаметр цилиндрического тела, чтобы источник света не был виден сверху, нам нужно использовать законы оптики, в частности, закон преломления света.

Шаг 1: Понимание преломления света

Когда свет проходит из одной среды в другую (например, из жидкости в воздух), он преломляется. Закон преломления света (закон Снелла) описывается формулой: \[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \] где:

• \( n_1 \) — абсолютный показатель преломления первой среды (жидкость, \( n_1 = 1,333 \)),
• \( n_2 \) — абсолютный показатель преломления второй среды (воздух, \( n_2 \approx 1 \)),
• \( \theta_1 \) — угол падения света в жидкости,
• \( \theta_2 \) — угол преломления света в воздухе.

Шаг 2: Учитываем условие видимости

Чтобы источник света не был виден с поверхности жидкости, необходимо, чтобы световой луч, выходящий из точки \( S \), претерпевал полное внутреннее отражение.

Полное внутреннее отражение происходит, когда угол падения \( \theta_1 \) превышает определённый критический угол \( \theta_c \), который можно найти из формулы: \[ \sin(\theta_c) = \frac{n_2}{n_1} \] Подставим значения: \[ \sin(\theta_c) = \frac{1}{1,333} \approx 0,75 \] Теперь находим \( \theta_c \): \[ \theta_c \approx \arcsin(0,75) \approx 48,6^\circ \]

Шаг 3: Геометрия задачи

Рассмотрим вертикальную линию из точки \( S \) к поверхности жидкости. Если \( h = 35 \, \text{см} \) — это глубина, на которой находится источник света, то при угле \( \theta_c \) луч света будет подниматься к поверхности. Теперь необходимо определить, какое расстояние \( r \) от центра цилиндра до линии падения света, когда он находится под углом \( \theta_c \).

Согласно тригонометрии: \[ \tan(\theta_c) = \frac{h}{r} \] Отсюда: \[ r = \frac{h}{\tan(\theta_c)} = \frac{35 \, \text{см}}{\tan(48,6^\circ)} \approx \frac{35}{1,14} \approx 30,7 \, \text{см} \]

Шаг 4: Вычисление минимального диаметра

Так как \( r \) — это расстояние от центра до точки, где луч, выходя, достигает поверхности, минимальный диаметр \( D \) цилиндрического тела должен быть равен двух радиусам: \[ D = 2r \approx 2 \times 30,7 \, \text{см} \approx 61,4 \, \text{см} \]

Ответ

Минимальное значение диаметра цилиндрического тела, при котором источник света не будет виден, составляет примерно 61,4 см.