x³+2x²-36x-72=0
Чтобы решить уравнение \( x^3 + 2x^2 - 36x - 72 = 0 \), мы будем использовать метод подбора корней и потом факторизацию. Я постараюсь объяснить каждую стадию подробно.
Шаг 1: Подбор корней
Поскольку это кубическое уравнение, мы можем попробовать найти его корни с помощью метода подбора. Обычно мы начинаем пробовать целые числа. Попробуем некоторые значения \( x \):
- Для \( x = -6 \): \[ (-6)^3 + 2(-6)^2 - 36(-6) - 72 = -216 + 72 + 216 - 72 = 0 \] Таким образом, \( x = -6 \) является корнем уравнения.
Шаг 2: Деление многочлена
Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разделить наш многочлен на \( x + 6 \) с помощью деления многочленов, чтобы найти оставшийся множитель.
Мы можем использовать синтетическое деление:
\[ -6 | 1 \quad 2 \quad -36 \quad -72 \\ \quad | \quad -6 \quad 24 \quad 72 \\ \hline \quad 1 \quad -4 \quad -12 \quad 0 \]
Остаток равен 0, так что: \[ x^3 + 2x^2 - 36x - 72 = (x + 6)(x^2 - 4x - 12) \]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Мы можем использовать дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
Теперь вычислим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \]
Это дает нам два решения: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Шаг 4: Все корни уравнения
Теперь у нас есть три корня данного уравнения:
- \( x = -6 \)
- \( x = 6 \)
- \( x = -2 \)
Итог
Таким образом, корни уравнения \( x^3 + 2x^2 - 36x - 72 = 0 \) это: \[ x_1 = -6, \quad x_2 = 6, \quad x_3 = -2 \]
Если у вас остались вопросы по каким-либо шагам или требуется дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
