Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите событил «в первый раз выпал орёд» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность…

Давайте разберем эту задачу по шагам.

1. Определение событий

• Событие A: «В первый раз выпал орел».
• Событие B: «Решка выпала дважды».

2. Проверим, являются ли события независимыми

События независимы, если выполнение одного события не влияет на вероятность выполнения другого. Для проверки независимости событий мы можем использовать следующее условие:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Шаг 1. Найдем вероятности событий A и B.

Вероятность A (в первый раз выпал орел)

При первом броске вероятность выпадения орла — \(P(A) = \frac{1}{2}\).

Вероятность B (решка выпала дважды)

Теперь давайте найдем вероятность того, что среди трех бросков монеты решка выпала дважды. Мы можем использовать биномиальное распределение для этого.

Обозначим:

• \(n = 3\) (общее число бросков),
• \(k = 2\) (число успешных исходов, т.е. решек),
• \(p = \frac{1}{2}\) (вероятность того, что выпадает решка).

Используем формулу биномиального распределения:

\[ P(B) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]

Где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае:

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \]

Теперь подставляем значения:

\[ P(B) = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]

Шаг 2. Найдем вероятность совместного события A и B (\(P(A \cap B)\))

Чтобы определить \(P(A \cap B)\), нам нужно понять, как A влияет на B. Если A (орел) выпадает в первом броске, тогда у нас остается 2 броска, и мы должны, чтобы произошло событие B, получить решку дважды в этих двух бросках.

• Вероятность, что в оставшихся двух бросках выпадает решка дважды:

Обозначим, что каждый из оставшихся бросков также имеет \(p = \frac{1}{2}\):

\[ P(B|A) = C(2, 2) \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1 \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4} \]

Таким образом,

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \]

Шаг 3. Проверка независимости

Теперь подставим все полученные значения в условие независимости:

\[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]

Сравним с \(P(A \cap B)\):

• \(P(A \cap B) = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}\)

Поскольку

\[ P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B), \]

События A и B не являются независимыми.

3. Найдем вероятность объединения событий A и B

Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Теперь подставим все известные значения:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Ответы:

а) События A и B не являются независимыми.
б) Вероятность объединения событий A и B составляет \(\frac{3}{4}\).