Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите событил «в первый раз выпал орёд» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.

Давайте разберем эту задачу по шагам. ### 1. Определение событий - **Событие A:** «В первый раз выпал орел». - **Событие B:** «Решка выпала дважды». ### 2. Проверим, являются ли события независимыми События независимы, если выполнение одного события не влияет на вероятность выполнения другого. Для проверки независимости событий мы можем использовать следующее условие: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] **Шаг 1. Найдем вероятности событий A и B.** #### Вероятность A (в первый раз выпал орел) При первом броске вероятность выпадения орла — \(P(A) = \frac{1}{2}\). #### Вероятность B (решка выпала дважды) Теперь давайте найдем вероятность того, что среди трех бросков монеты решка выпала дважды. Мы можем использовать биномиальное распределение для этого. Обозначим: - \(n = 3\) (общее число бросков), - \(k = 2\) (число успешных исходов, т.е. решек), - \(p = \frac{1}{2}\) (вероятность того, что выпадает решка). Используем формулу биномиального распределения: \[ P(B) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \] Где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \] Теперь подставляем значения: \[ P(B) = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \] ### Шаг 2. Найдем вероятность совместного события A и B (\(P(A \cap B)\)) Чтобы определить \(P(A \cap B)\), нам нужно понять, как A влияет на B. Если A (орел) выпадает в первом броске, тогда у нас остается 2 броска, и мы должны, чтобы произошло событие B, получить решку дважды в этих двух бросках. - Вероятность, что в оставшихся двух бросках выпадает решка дважды: Обозначим, что каждый из оставшихся бросков также имеет \(p = \frac{1}{2}\): \[ P(B|A) = C(2, 2) \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1 \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4} \] Таким образом, \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \] ### Шаг 3. Проверка независимости Теперь подставим все полученные значения в условие независимости: \[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] Сравним с \(P(A \cap B)\): - \(P(A \cap B) = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}\) Поскольку \[ P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B), \] События A и B **не являются независимыми**. ### 3. Найдем вероятность объединения событий A и B Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Теперь подставим все известные значения: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] ### Ответы: а) События A и B не являются независимыми. б) Вероятность объединения событий A и B составляет \(\frac{3}{4}\).