Какое неравенство верно при любом значении переменной? 1) a^2-8a<=16 2) a^2<=8a-16 3) a^2-8a>=16 4) a^2>=8a-16

Для того чтобы определить, какое из предложенных неравенств верно при любом значении переменной \( a \), давайте решим каждое из них по отдельности. ### 1) \( a^2 - 8a \leq 16 \) Перепишем неравенство: \[ a^2 - 8a - 16 \leq 0 \] Теперь найдем корни уравнения \( a^2 - 8a - 16 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128 \] Корни будут: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 4\sqrt{2} \] Теперь будем определять знак выражения \( a^2 - 8a - 16 \) на промежутках, определенных корнями. Корни: \[ 4 - 4\sqrt{2} \quad \text{и} \quad 4 + 4\sqrt{2} \] Эти значения делят числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty, 4 - 4\sqrt{2}) \), \( (4 - 4\sqrt{2}, 4 + 4\sqrt{2}) \) и \( (4 + 4\sqrt{2}, +\infty) \). - Для \( a < 4 - 4\sqrt{2} \) выражение будет положительным. - Для \( 4 - 4\sqrt{2} < a < 4 + 4\sqrt{2} \) выражение будет отрицательным (или равно нулю на границах). - Для \( a > 4 + 4\sqrt{2} \) выражение снова положительно. Таким образом, неравенство выполняется на интервале: \[ [4 - 4\sqrt{2}, 4 + 4\sqrt{2}] \] Это неравенство неверно для любых значений \( a \). ### 2) \( a^2 \leq 8a - 16 \) Перепишем это неравенство: \[ a^2 - 8a + 16 \leq 0 \] Обратите внимание, что это можно записать как: \[ (a - 4)^2 \leq 0 \] Квадрат числа всегда неотрицателен и равен нулю только при \( a = 4 \). Таким образом, это неравенство выполняется только при \( a = 4 \), а не для любых значений \( a \). ### 3) \( a^2 - 8a \geq 16 \) Перепишем неравенство: \[ a^2 - 8a - 16 \geq 0 \] Это такое же выражение, как в первом пункте, с измененным знаком. Мы уже нашли корни: \( 4 - 4\sqrt{2} \) и \( 4 + 4\sqrt{2} \). Следовательно, знак будет противоположным: - Для \( a < 4 - 4\sqrt{2} \) выражение будет положительным. - Для \( 4 - 4\sqrt{2} < a < 4 + 4\sqrt{2} \) выражение будет отрицательным. - Для \( a > 4 + 4\sqrt{2} \) выражение снова положительно. Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 4 - 4\sqrt{2}] \cup [4 + 4\sqrt{2}, +\infty) \] Это неравенство неверно для любых значений \( a \). ### 4) \( a^2 \geq 8a - 16 \) Перепишем: \[ a^2 - 8a + 16 \geq 0 \] Как мы уже нашли, \( (a - 4)^2 \geq 0 \) выполняется для всех \( a \) и равно нулю только при \( a = 4 \). Таким образом, это неравенство верно для любых значений \( a \). ### Ответ Таким образом, окончательный ответ: **4) \( a^2 \geq 8a - 16 \)** верно при любом значении переменной \( a \).