Для решения задачи начнем с информации о прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, угол B равен 60°, а сумма сторон AB и BC равна 12.
Шаг 1: Поймем свойства треугольника
В прямоугольном треугольнике с одним из углов равным 60° (угол B):
- Сторона, напротив угла 60°, обозначим её как AC, будет равна ( BC \cdot \sqrt{3} ).
- Сторона, напротив угла 30°, обозначим её как AB, будет равна ( BC \cdot 1 ).
Таким образом, можем обозначить:
- ( BC = x ) (катет против угла 60°)
- ( AC = x \sqrt{3} ) (катет против угла 30°)
- ( AB = x \cdot 2 ) (гипотенуза)
Шаг 2: Запишем уравнение
Из условия задачи знаем, что:
[ AB + BC = 12 ]
Так как ( AB = 2x ) и ( BC = x ), мы подставляем в уравнение:
[ 2x + x = 12 ]
[ 3x = 12 ]
Шаг 3: Решение уравнения
Теперь найдем ( x ):
[
x = \frac{12}{3} = 4
]
Шаг 4: Находим длины сторон
Теперь подставим ( x ) обратно, чтобы найти длины сторон:
- ( BC = x = 4 )
- ( AB = 2x = 8 )
- ( AC = x\sqrt{3} = 4\sqrt{3} )
Шаг 5: Найдем площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — это катеты. В нашем случае:
[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3}
]
Теперь считаем:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} = 8\sqrt{3}
]
Шаг 6: Записываем ответ
Теперь согласно условию задачи, нам необходимо записать ответ в виде площади, делённой на ( \sqrt{3} ):
[
\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8
]
Ответ
Таким образом, ответ на задачу:
[ 8 ]
