Магазин закупает фрукты у двух поставщиков. 18% фруктов от первого поставщика высшего сорта, а от второго – 25%. В магазине 20% фруктов высшего сорта. Найдите вероятность того,…

Для решения задачи мы будем использовать теорему Байеса, которая позволяет находить вероятность события при условии, что нам известны некоторые другие события.

Давайте обозначим события:

• \( A_1 \): Фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика.
• \( A_2 \): Фрукты высшего сорта поступили от второго поставщика.
• \( B \): Фрукты высшего сорта.

Также нам известны следующие данные:

• Вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика:

  • \( P(B | A_1) = 0.18 \) (18%)

• Вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от второго поставщика:

  • \( P(B | A_2) = 0.25 \) (25%)

• Вероятность того, что фрукты в магазине высшего сорта:

  • \( P(B) = 0.20 \) (20%)

Теперь нам нужно найти \( P(A_1 | B) \): вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика, с учетом того, что у нас уже есть фрукты высшего сорта.

Сначала мы можем использовать формулу для полной вероятности:

\[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \]

Так как вероятность того, что фрукты поступили от первого или второго поставщика, равна 1, будем считать, что \(\ P(A_1) \) и \(\ P(A_2) \) равны. Пусть \( P(A_1) = P(A_2) = p \), тогда:

\[ P(B) = P(B | A_1) \cdot p + P(B | A_2) \cdot p = p \cdot (P(B | A_1) + P(B | A_2)) \]

Мы знаем, что \( P(B) = 0.20 \): \[ 0.20 = p \cdot (0.18 + 0.25) \]

Теперь найдем значение \( 0.18 + 0.25 \): \[ 0.18 + 0.25 = 0.43 \]

Теперь подставим это значение в наше уравнение: \[ 0.20 = p \cdot 0.43 \]

Теперь, чтобы найти \( p \), делим обе стороны на 0.43: \[ p = \frac{0.20}{0.43} \approx 0.4651 \]

Теперь у нас есть \( p \), который представляет вероятность того, что фрукты пришли от первого (или второго) поставщика.

Теперь можем рассчитать \( P(A_1 | B) \) по теореме Байеса:

\[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]

Подставляем известные значения: \[ P(A_1 | B) = \frac{0.18 \cdot p}{0.20} \]

Теперь подставим значение \( p \approx 0.4651 \): \[ P(A_1 | B) = \frac{0.18 \cdot 0.4651}{0.20} \approx \frac{0.0837}{0.20} \approx 0.4185 \]

Теперь округлим результат до сотых: \[ P(A_1 | B) \approx 0.42 \]

Таким образом, вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика, составляет примерно 0.42 или 42%.