Для решения задачи мы будем использовать теорему Байеса, которая позволяет находить вероятность события при условии, что нам известны некоторые другие события.
Давайте обозначим события:
- ( A_1 ): Фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика.
- ( A_2 ): Фрукты высшего сорта поступили от второго поставщика.
- ( B ): Фрукты высшего сорта.
Также нам известны следующие данные:
Вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика:
- ( P(B | A_1) = 0.18 ) (18%)
Вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от второго поставщика:
- ( P(B | A_2) = 0.25 ) (25%)
Вероятность того, что фрукты в магазине высшего сорта:
Теперь нам нужно найти ( P(A_1 | B) ): вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика, с учетом того, что у нас уже есть фрукты высшего сорта.
Сначала мы можем использовать формулу для полной вероятности:
[
P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)
]
Так как вероятность того, что фрукты поступили от первого или второго поставщика, равна 1, будем считать, что (\ P(A_1) ) и (\ P(A_2) ) равны. Пусть ( P(A_1) = P(A_2) = p ), тогда:
[
P(B) = P(B | A_1) \cdot p + P(B | A_2) \cdot p = p \cdot (P(B | A_1) + P(B | A_2))
]
Мы знаем, что ( P(B) = 0.20 ):
[
0.20 = p \cdot (0.18 + 0.25)
]
Теперь найдем значение ( 0.18 + 0.25 ):
[
0.18 + 0.25 = 0.43
]
Теперь подставим это значение в наше уравнение:
[
0.20 = p \cdot 0.43
]
Теперь, чтобы найти ( p ), делим обе стороны на 0.43:
[
p = \frac{0.20}{0.43} \approx 0.4651
]
Теперь у нас есть ( p ), который представляет вероятность того, что фрукты пришли от первого (или второго) поставщика.
Теперь можем рассчитать ( P(A_1 | B) ) по теореме Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}
]
Подставляем известные значения:
[
P(A_1 | B) = \frac{0.18 \cdot p}{0.20}
]
Теперь подставим значение ( p \approx 0.4651 ):
[
P(A_1 | B) = \frac{0.18 \cdot 0.4651}{0.20} \approx \frac{0.0837}{0.20} \approx 0.4185
]
Теперь округлим результат до сотых:
[
P(A_1 | B) \approx 0.42
]
Таким образом, вероятность того, что фрукты высшего сорта поступили от первого поставщика, составляет примерно 0.42 или 42%.
