В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 10, АС = 5. Найдите cos А.

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) у нас есть \( AB = AC = 10 \) и основание \( BC = 5 \). Нам нужно найти \( \cos A \).

Сначала найдем высоту \( h \) треугольника, опущенную из вершины \( A \) на основание \( BC \). Мы можем разбить основание \( BC \) пополам, чтобы получить два равных отрезка по \( \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \).

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник \( AHD \), где:

• \( AH = h \) (высота из точки \( A \)),
• \( HD = \frac{BC}{2} = 2.5 \),
• \( AD = AB = 10 \).

По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AH^2 + HD^2 \]

Подставим значения:

\[ 10^2 = h^2 + (2.5)^2 \]

Это дает:

\[ 100 = h^2 + 6.25 \]

Теперь решим уравнение для \( h^2 \):

\[ h^2 = 100 - 6.25 = 93.75 \]

Следовательно:

\[ h = \sqrt{93.75} \approx 9.68 \]

Теперь можем применить формулу для косинуса угла \( A \):

\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

где \( a = BC = 5 \), \( b = AC = 10 \), \( c = AB = 10 \).

Подставляя значения:

\[ \cos A = \frac{10^2 + 10^2 - 5^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} \]

Это будет:

\[ = \frac{100 + 100 - 25}{200} = \frac{175}{200} = \frac{7}{8} \]

Таким образом, \( \cos A = \frac{7}{8} \).