В равнобедренном треугольнике ( ABC ) у нас есть ( AB = AC = 10 ) и основание ( BC = 5 ). Нам нужно найти ( \cos A ).
Сначала найдем высоту ( h ) треугольника, опущенную из вершины ( A ) на основание ( BC ). Мы можем разбить основание ( BC ) пополам, чтобы получить два равных отрезка по ( \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 ).
Теперь мы имеем прямоугольный треугольник ( AHD ), где:
- ( AH = h ) (высота из точки ( A )),
- ( HD = \frac{BC}{2} = 2.5 ),
- ( AD = AB = 10 ).
По теореме Пифагора:
[
AB^2 = AH^2 + HD^2
]
Подставим значения:
[
10^2 = h^2 + (2.5)^2
]
Это дает:
[
100 = h^2 + 6.25
]
Теперь решим уравнение для ( h^2 ):
[
h^2 = 100 - 6.25 = 93.75
]
Следовательно:
[
h = \sqrt{93.75} \approx 9.68
]
Теперь можем применить формулу для косинуса угла ( A ):
[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
]
где ( a = BC = 5 ), ( b = AC = 10 ), ( c = AB = 10 ).
Подставляя значения:
[
\cos A = \frac{10^2 + 10^2 - 5^2}{2 \cdot 10 \cdot 10}
]
Это будет:
[
= \frac{100 + 100 - 25}{200} = \frac{175}{200} = \frac{7}{8}
]
Таким образом, ( \cos A = \frac{7}{8} ).
