Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды можно рассчитывать по формуле:
[ S_{\text{бок}} = \frac{P_{\text{осн}} \cdot h_{a}}{2} ]
где:
- ( S_{\text{бок}} ) — площадь боковой поверхности,
- ( P_{\text{осн}} ) — периметр основания,
- ( h_{a} ) — апофема пирамиды.
В данном случае нам известны:
- ( S_{\text{бок}} = 72 , \text{см}^2 ),
- ( h_{a} = 8 , \text{см} ).
Сначала найдем площадь боковой поверхности:
[
72 = \frac{P_{\text{осн}} \cdot 8}{2}
]
Упростим уравнение:
[
72 = 4P_{\text{осн}}
]
Теперь найдем периметр основания:
[
P_{\text{осн}} = \frac{72}{4} = 18 , \text{см}
]
Основание является правильным треугольником, и его периметр можно выразить через сторону ( a ):
[
P_{\text{осн}} = 3a
]
Следовательно:
[
3a = 18 \Longrightarrow a = 6 , \text{см}
]
Теперь найдем площадь основания ( S_{\text{осн}} ) правильного треугольника по формуле:
[
S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
]
Подставим значение стороны ( a ):
[
S_{\text{осн}} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь основания правильной треугольной пирамиды равна ( 9\sqrt{3} , \text{см}^2 ).
