площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 72см2. найти площадь основания, если апофема = 8
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды можно рассчитывать по формуле:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{P_{\text{осн}} \cdot h_{a}}{2} \]
где:
- \( S_{\text{бок}} \) — площадь боковой поверхности,
- \( P_{\text{осн}} \) — периметр основания,
- \( h_{a} \) — апофема пирамиды.
В данном случае нам известны:
- \( S_{\text{бок}} = 72 \, \text{см}^2 \),
- \( h_{a} = 8 \, \text{см} \).
Сначала найдем площадь боковой поверхности:
\[ 72 = \frac{P_{\text{осн}} \cdot 8}{2} \]
Упростим уравнение:
\[ 72 = 4P_{\text{осн}} \]
Теперь найдем периметр основания:
\[ P_{\text{осн}} = \frac{72}{4} = 18 \, \text{см} \]
Основание является правильным треугольником, и его периметр можно выразить через сторону \( a \):
\[ P_{\text{осн}} = 3a \]
Следовательно:
\[ 3a = 18 \Longrightarrow a = 6 \, \text{см} \]
Теперь найдем площадь основания \( S_{\text{осн}} \) правильного треугольника по формуле:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
Подставим значение стороны \( a \):
\[ S_{\text{осн}} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь основания правильной треугольной пирамиды равна \( 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).
