В треугольнике АВС угол С=60°, угол В=90°. Высота ВВ1 равна 2 см. Найти: АВ

Чтобы решить задачу с треугольником ABC, где угол C равен 60°, угол B равен 90°, а высота BB1 равна 2 см, давайте пошагово рассмотрим, что нам нужно найти и как это можно сделать.

Шаг 1: Определение треугольника

Поскольку угол B равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным. Угол C равен 60°, следовательно, угол A равен 30° (поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°).

Шаг 2: Обозначение сторон

В данном треугольнике:

• BC — противолежащая сторона углу A,
• AB — гипотенуза,
• AC — противолежащая сторона углу C.

Шаг 3: Связь высоты и сторон

Мы знаем, что высота треугольника из вершины V (в нашем случае из B) делит треугольник на два меньших треугольника: BDB1 и ABD. Высота BB1 равна 2 см.

Шаг 4: Применение тригонометрии

Для нахождения стороны AB (гипотенузы) воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника:

С учетом угла C (60°) и высоты BB1, у нас есть:

• В треугольнике BB1C (прямоугольный треугольник), где:
  • длина высоты BB1 = 2 см,
  • угол C = 60°.

Используем отношение:

\[ \tan(60°) = \frac{\text{противолежащая}}{\text{прилежащая}} = \frac{BB1}{BC} \]

Так как \(\tan(60°) = \sqrt{3}\), получаем:

\[ \sqrt{3} = \frac{2}{BC} \Rightarrow BC = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow BC = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Теперь мы можем найти AB и AC.

Шаг 5: Нахождение стороны AB

Мы знаем:

1. В треугольнике ACB:
   • AC = BB1 / sin(60°)
   • \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Используя длину BB1 и синус угла C:

\[ AC = \frac{2}{\sin(60°)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Также мы можем использовать Пифагора для нахождения AB.

Шаг 6: Применение теоремы Пифагора

Теперь у нас есть все стороны:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения AC и BC:

\[ AB^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 \]

Считаем:

\[ AB^2 = \frac{48}{9} + \frac{12}{9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3} \]

Чтобы найти AB, возьмем квадратный корень:

\[ AB = \sqrt{\frac{20}{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3} \]

Ответ

Таким образом, длина стороны AB составляет примерно \( \frac{2\sqrt{15}}{3} \) см, или около 2.58 см.