игральную кость подбрасывают трижды.Найдите количество элементарных событий при которых в сумме выпадет 5 очков
Чтобы найти количество элементарных событий, при которых в сумме выпадет 5 очков при трёх подбрасываниях игральной кости, давайте следовать пошагово.
Определение возможных событий:
Мы подбрасываем кость три раза. Каждое подбрасывание может дать 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Мы ищем все возможные комбинации, которые в сумме дадут 5.Запись уравнения:
Пусть \( x_1, x_2, x_3 \) — значения, выпавшие при трёх подбрасываниях кости. Тогда мы имеем: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 5 \] где \( 1 \leq x_1, x_2, x_3 \leq 6 \).Переписываем уравнение:
Мы можем ввести новые переменные, чтобы сделать уравнение удобнее для анализа. Заменим \( x_i \) на \( y_i = x_i - 1 \) (это позволяет нам работать с числами от 0 до 5): \[ (y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) = 5 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 2 \] При этом \( 0 \leq y_i \leq 5 \).Поиск целых неотрицательных решений:
Теперь нам нужно найти неотрицательные целые решения этого уравнения. Мы можем использовать метод "звёздочек и палочек". Нам нужно разместить 2 звезды (сумма 2) и 2 палочки (разделители) между ними:- Звезды: ★ ★
- Палочки: | |
Общее количество символов: 4 (2 звезды и 2 палочки). Разместим 2 палочки среди 4 символов.
Количество способов расставить палочки (или, что то же самое, выбор мест для звёзд) можно вычислить как: \[ \binom{n+k-1}{k-1} \] где \( n = 2 \) (количество "звёзд") и \( k = 3 \) (число переменных, то есть \( y_1, y_2, y_3 \)): \[ \binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6 \]
Проверка на допустимость:
В нашем случае, каждый \( x_i \) должен быть не больше 6, что соблюдено, поскольку максимальное значение, которое \( x_i \) может принимать при \( y_i = 2 \) – это 3 (так как например, 1 + 1 + 1 = 3 и 2 высоких значения дают в сумме 5). Таким образом, все полученные решения допустимы.Ответ:
Итак, количество элементарных событий, при которых в сумме выпадет 5 очков при трёх подбрасываниях игральной кости, составляет 6.
Если у вас есть дальнейшие вопросы или нужно что-то пояснить, не стесняйтесь спрашивать!
