Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 12 см, определи длину меньшего катета
Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию.
Определение параметров треугольника: В прямоугольном треугольнике один угол равен 60°, а значит, другой острый угол равен 30° (так как сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°).
Применение соотношений: Позволим:
- \( a \) — меньший катет (против угла 30°),
- \( b \) — больший катет (против угла 60°),
- \( c \) — гипотенуза.
Известно, что сумма меньшего катета и гипотенузы равна 12 см: \[ a + c = 12 \]
Тригонометрические соотношения: В треугольнике с углом 30° по свойствам соотношений: \[ \frac{a}{c} = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{c}{2} \] \[ \frac{b}{c} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow b = \frac{\sqrt{3}}{2}c \]
Подстановка значения меньшего катета в уравнение: Подставим выражение для \( a \) в уравнение \( a + c = 12 \): \[ \frac{c}{2} + c = 12 \] Объединим слагаемые: \[ \frac{c + 2c}{2} = 12 \] \[ \frac{3c}{2} = 12 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 3c = 24 \] Разделим на 3: \[ c = 8 \text{ см} \]
Определение длины меньшего катета: Теперь подставим найденное значение гипотенузы \( c \) в выражение для \( a \): \[ a = \frac{c}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} \]
Таким образом, длина меньшего катета равна 4 см.
