Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Один из острых углов прямоугольного треугольника равен ( 60^\circ ).
- Сумма меньшего катета ( a ) и гипотенузы ( c ) равна ( 12 ) см: ( a + c = 12 ).
Нам нужно:
- Найти длину меньшего катета ( a ).
- Определить величину второго острого угла.
Шаг 1: Определим стороны прямоугольного треугольника.
Пусть ( a ) - меньший катет (против угла ( 60^\circ )),
( b ) - больший катет, и ( c ) - гипотенуза (против прямого угла).
Согласно свойствам прямоугольного треугольника с углом ( 60^\circ ):
Сторона, противолежащая углу ( 60^\circ ) (меньший катет ( a )) равна:
[
a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Сторона, противолежащая углу ( 30^\circ ) (больший катет ( b )) равна:
[
b = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2}
]
[
\text{Второй острый угол} (B) = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
]
Шаг 2: Запишем уравнение для гипотенузы и меньшего катета.
Из условия суммы меньшего катета и гипотенузы:
[
a + c = 12
]
Подставляем выражение для меньшего катета:
[
c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 12
]
Шаг 3: Выразим гипотенузу ( c ) через ( c ).
Соберем подобные:
[
c \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = 12
]
Шаг 4: Упрощаем.
Посчитаем ( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ):
[
\frac{\sqrt{3} + 2}{2}
]
Теперь у нас есть:
[
c \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{2} = 12
]
Шаг 5: Найдем ( c ).
Умножим обе стороны на 2:
[
c \cdot (\sqrt{3} + 2) = 24
]
Разделим на ( \sqrt{3} + 2 ):
[
c = \frac{24}{\sqrt{3} + 2}
]
Шаг 6: Найдем ( a ).
Подставим ( c ) обратно в ( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
a = \frac{24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}
]
Шаг 7: Рассчитаем конечные значения.
Для удобства, можно найти приближенное значение ( a ):
[
\approx 6.93 \text{ см} \text{ (посчитав значение приближенно)}.
]
Ответ:
- Длина меньшего катета ( a ) примерно равна ( 6.93 ) см.
- Второй острый угол равен ( 30^\circ ).
