Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 12 см, определи длину меньшего катета и величину второго острого угла равна?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Один из острых углов прямоугольного треугольника равен \( 60^\circ \).
- Сумма меньшего катета \( a \) и гипотенузы \( c \) равна \( 12 \) см: \( a + c = 12 \).
Нам нужно:
- Найти длину меньшего катета \( a \).
- Определить величину второго острого угла.
Шаг 1: Определим стороны прямоугольного треугольника.
Пусть \( a \) - меньший катет (против угла \( 60^\circ \)), \( b \) - больший катет, и \( c \) - гипотенуза (против прямого угла).
Согласно свойствам прямоугольного треугольника с углом \( 60^\circ \):
Сторона, противолежащая углу \( 60^\circ \) (меньший катет \( a \)) равна: \[ a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Сторона, противолежащая углу \( 30^\circ \) (больший катет \( b \)) равна: \[ b = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \]
\[ \text{Второй острый угол} (B) = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Шаг 2: Запишем уравнение для гипотенузы и меньшего катета.
Из условия суммы меньшего катета и гипотенузы: \[ a + c = 12 \]
Подставляем выражение для меньшего катета: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 12 \]
Шаг 3: Выразим гипотенузу \( c \) через \( c \).
Соберем подобные: \[ c \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = 12 \]
Шаг 4: Упрощаем.
Посчитаем \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \): \[ \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \]
Теперь у нас есть: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{2} = 12 \]
Шаг 5: Найдем \( c \).
Умножим обе стороны на 2: \[ c \cdot (\sqrt{3} + 2) = 24 \]
Разделим на \( \sqrt{3} + 2 \): \[ c = \frac{24}{\sqrt{3} + 2} \]
Шаг 6: Найдем \( a \).
Подставим \( c \) обратно в \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ a = \frac{24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \]
Шаг 7: Рассчитаем конечные значения.
Для удобства, можно найти приближенное значение \( a \): \[ \approx 6.93 \text{ см} \text{ (посчитав значение приближенно)}. \]
Ответ:
- Длина меньшего катета \( a \) примерно равна \( 6.93 \) см.
- Второй острый угол равен \( 30^\circ \).
