Найди косинус наименьшего угла треугольника АВС, заданного координатами вершин А (0;6; -8), В (-15;6; - 8) и С(0;6;0). Результат округли до десятых.
Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, нам нужно сначала определить векторы сторон треугольника и затем использовать их для вычисления косинусов углов.
Находим векторы сторон треугольника:
- Вектор AB: \( \vec{AB} = B - A = (-15, 6, -8) - (0, 6, -8) = (-15, 0, 0) \)
- Вектор AC: \( \vec{AC} = C - A = (0, 6, 0) - (0, 6, -8) = (0, 0, 8) \)
- Вектор BC: \( \vec{BC} = C - B = (0, 6, 0) - (-15, 6, -8) = (15, 0, 8) \)
Теперь мы найдем длины этих векторов:
- \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-15)^2 + 0^2 + 0^2} = 15 \)
- \( |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 8^2} = 8 \)
- \( |\vec{BC}| = \sqrt{15^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \)
Теперь находим косинусы углов треугольника:
Косинус угла A: \[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \] Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-15) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 8 = 0 \) \[ \cos A = \frac{0}{15 \cdot 8} = 0 \]
Косинус угла B: \[ \cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} \] Скалярное произведение \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (15) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 8 = 0 \) \[ \cos B = \frac{0}{17 \cdot 15} = 0 \]
Косинус угла C: \[ \cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} \] Скалярное произведение \( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = (0) \cdot 15 + 0 \cdot 0 + 8 \cdot 8 = 64 \) \[ \cos C = \frac{64}{8 \cdot 17} = \frac{64}{136} = \frac{16}{34} = \frac{8}{17} \approx 0.4706 \]
Таким образом, угол A и угол B являются прямыми (так как косинус равен 0), что означает, что наименьший угол треугольника — это угол C.
Окончательный ответ для косинуса наименьшего угла: \[ \cos C \approx 0.5 \]
Ответ: \( \cos C \approx 0.5 \) (округлённый до десятых).
