задумали трёхзначное число все цифры которого различны и вторая цифра которых четная.из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке получили число 693, найдите наименьшее из чисел. удовлетворяющим этим условием.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. **Обозначим трёхзначное число**: Пусть трёхзначное число записывается в виде \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — его цифры. Здесь \(a\) — это сотни, \(b\) — десятки, и \(c\) — единицы. По условию задачи, все цифры различны, а вторая цифра \(b\) — четная.
2. **Число в обратном порядке**: Запишем число в обратном порядке как \(cba\).
3. **Вычитание**: По условию, мы вычитаем трёхзначное число, записанное в обратном порядке, из числа \(abc\):
\[
abc - cba = 693
\]
Запишем эти числа в числовом формате:
\[
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693
\]
4. **Упростим уравнение**:
\[
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693
\]
\[
99a - 99c = 693
\]
\[
a - c = 7
\]
5. **Цифры a и c**: Мы знаем, что \(a - c = 7\). Это означает, что \(a\) больше \(c\) на 7. Поскольку \(a\) — первая цифра трёхзначного числа, она может принимать значения от 1 до 9, а \(c\) — от 0 до 9. Исследуем возможные значения:
- Если \(a = 8\), тогда \(c = 1\) (различные);
- Если \(a = 9\), тогда \(c = 2\) (различные).
**Дополнительное условие**: Вторая цифра \(b\) должна быть четной. Возможные четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8.
Теперь проверим каждое из полученных чисел:
1. **Для \(a = 8, c = 1\)**: Это число будет выглядеть как \(8b1\), и потенциальные значения для \(b\) (учитывая, что цифры различны) — 0, 2, 4, 6.
- \(b = 0\): Число 801 → 801 - 108 = 693
- \(b = 2\): Число 821 (дублирование 2) — не подходит.
- \(b = 4\): Число 841 (дублирование 4) — не подходит.
- \(b = 6\): Число 861 (дублирование 6) — не подходит.
Таким образом, единственный вариант — это 801.
2. **Для \(a = 9, c = 2\)**: Это число будет выглядеть как \(9b2\), и четные значения для \(b\) — 0, 4, 6, 8.
- \(b = 0\): Число 902 → 902 - 209 = 693
- \(b = 4\): Число 942 (дублирование 4) — не подходит.
- \(b = 6\): Число 962 (дублирование 6) — не подходит.
- \(b = 8\): Число 982 (дублирование 8) — не подходит.
Таким образом, мы нашли два числа, удовлетворяющих условиям задачи: **801** и **902**, из которых **801** — наименьшее.
**Ответ**: Наименьшее из искомых чисел: **801**.
