Найди площадь закрашенной части

Чтобы найти площадь закрашенной части, сначала разберемся с фигурой: Дан равносторонний треугольник и арки окружностей, центр которых расположен в вершинах треугольника. Радиус этих арок равен стороне треугольника, то есть 15. ### Шаги решения: 1. **Площадь равностороннего треугольника:** Формула площади: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] где \(a\) — длина стороны. Подставим \(a = 15\): \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 225 = \frac{225\sqrt{3}}{4} \] 2. **Площадь одного сектора:** Центральный угол каждого сектора составляет \(60^\circ\), или \(\frac{1}{6}\) от полного круга (\(360^\circ\)). Площадь полного круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \times 15^2 = 225\pi \] Площадь одного сектора: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{6} \times 225\pi = \frac{225\pi}{6} = \frac{75\pi}{2} \] 3. **Площадь трех секторов:** Всего таких секторов три: \[ S_{\text{трех секторов}} = 3 \times \frac{75\pi}{2} = \frac{225\pi}{2} \] 4. **Площадь закрашенной части:** Закрашенная часть равна площади треугольника минус площади трех секторов: \[ S_{\text{закрашенной}} = S_{\text{треугольника}} - S_{\text{трех секторов}} \] Подставим числа: \[ S_{\text{закрашенной}} = \frac{225\sqrt{3}}{4} - \frac{225\pi}{2} \] Таким образом, площадь закрашенной части выражается как разность площади треугольника и суммарной площади трех круговых секторов.