Найди площадь закрашенной части

Чтобы найти площадь закрашенной части, сначала разберемся с фигурой:

Дан равносторонний треугольник и арки окружностей, центр которых расположен в вершинах треугольника. Радиус этих арок равен стороне треугольника, то есть 15.

Шаги решения:

1. Площадь равностороннего треугольника:

   Формула площади: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] где \(a\) — длина стороны. Подставим \(a = 15\): \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 225 = \frac{225\sqrt{3}}{4} \]

2. Площадь одного сектора:

   Центральный угол каждого сектора составляет \(60^\circ\), или \(\frac{1}{6}\) от полного круга (\(360^\circ\)).

   Площадь полного круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \times 15^2 = 225\pi \]

   Площадь одного сектора: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{6} \times 225\pi = \frac{225\pi}{6} = \frac{75\pi}{2} \]

3. Площадь трех секторов:

   Всего таких секторов три: \[ S_{\text{трех секторов}} = 3 \times \frac{75\pi}{2} = \frac{225\pi}{2} \]

4. Площадь закрашенной части:

   Закрашенная часть равна площади треугольника минус площади трех секторов: \[ S_{\text{закрашенной}} = S_{\text{треугольника}} - S_{\text{трех секторов}} \]

   Подставим числа: \[ S_{\text{закрашенной}} = \frac{225\sqrt{3}}{4} - \frac{225\pi}{2} \]

Таким образом, площадь закрашенной части выражается как разность площади треугольника и суммарной площади трех круговых секторов.