Реши систему уравнений: { y = x + 2 , 3 x + 4 y = 8. { y=x+2, 3x+4y=8.
Для решения системы уравнений
\[ \begin{cases} y = x + 2 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases} \]
мы можем использовать метод подстановки, так как в первом уравнении \(y\) уже выражено через \(x\).
Шаг 1: Подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе уравнение.
Подставляем \(y = x + 2\) во второе уравнение:
\[ 3x + 4(x + 2) = 8 \]
Шаг 2: Раскроем скобки.
Теперь раскроим скобки:
\[ 3x + 4x + 8 = 8 \]
Шаг 3: Упростим выражение.
Сложим подобные члены:
\[ 7x + 8 = 8 \]
Шаг 4: Переносим 8 на правую сторону.
Теперь вычтем 8 из обеих сторон уравнения:
\[ 7x = 0 \]
Шаг 5: Найдем значение \(x\).
Чтобы найти \(x\), разделим обе стороны на 7:
\[ x = 0 \]
Шаг 6: Найдем значение \(y\).
Теперь, когда мы знаем значение \(x\), можем подставить его в первое уравнение, чтобы найти \(y\):
\[ y = x + 2 = 0 + 2 = 2 \]
Ответ.
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ (x, y) = (0, 2) \]
Проверка:
Подставим полученные значения \(x\) и \(y\) в второе уравнение, чтобы убедиться, что оно верное:
\[ 3(0) + 4(2) = 8 \implies 0 + 8 = 8 \]
Таким образом, оба уравнения выполняются, и ответ \( (0, 2) \) корректен.
Обсуждение
18 сообщений{ 18x+2y=8, x−4y=21. 2 ) 2) { 8 x + 9 y = 20 , − 3 x + 5 y = 26. { 8x+9y=20, −3x+5y=26. 3 ) 3) { − 4 x + 7 y = 2 , 11 x − 9 y = 15. { −4x+7y=2, 11x−9y=15.
Давайте решим каждую из предложенных систем уравнений по очереди.
1) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 18x + 2y = 8 \quad (1) \\ x - 4y = 21 \quad (2) \end{cases} \]
Решение:
Из уравнения (2) выразим \(x\):
\[ x = 4y + 21 \]
Теперь подставим это выражение для \(x\) в уравнение (1):
\[ 18(4y + 21) + 2y = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 72y + 378 + 2y = 8 \]
Упрощаем:
\[ 74y + 378 = 8 \]
Теперь вычтем 378 из обеих сторон:
\[ 74y = 8 - 378 \] \[ 74y = -370 \]
Теперь делим обе стороны на 74:
\[ y = -\frac{370}{74} = -\frac{185}{37} \]
Теперь подставим \(y\) обратно в второе уравнение для нахождения \(x\):
\[ x = 4(-\frac{185}{37}) + 21 = -\frac{740}{37} + \frac{777}{37} = \frac{37}{37} = 1 \]
Ответ для первой системы:
\[ (x, y) = (1, -\frac{185}{37}) \]
2) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 8x + 9y = 20 \quad (1) \\ -3x + 5y = 26 \quad (2) \end{cases} \]
Решение:
Решим первое уравнение относительно \(y\):
\[ 9y = 20 - 8x \implies y = \frac{20 - 8x}{9} \]
Теперь подставим \(y\) во второе уравнение:
\[ -3x + 5\left(\frac{20 - 8x}{9}\right) = 26 \]
Умножим уравнение на 9 (чтобы избавиться от дробей):
\[ -27x + 5(20 - 8x) = 234 \]
Раскроем скобки:
\[ -27x + 100 - 40x = 234 \implies -67x + 100 = 234 \]
Теперь вычтем 100 из обеих сторон:
\[ -67x = 234 - 100 \] \[ -67x = 134 \]
Теперь делим обе стороны на -67:
\[ x = -\frac{134}{67} = -2 \]
Теперь подставим \(x\) обратно в первое уравнение для нахождения \(y\):
\[ 8(-2) + 9y = 20 \implies -16 + 9y = 20 \] \[ 9y = 20 + 16 = 36 \] \[ y = 4 \]
Ответ для второй системы:
\[ (x, y) = (-2, 4) \]
3) Система уравнений:
\[ \begin{cases} -4x + 7y = 2 \quad (1) \\ 11x - 9y = 15 \quad (2) \end{cases} \]
Решение:
Решим первое уравнение относительно \(y\):
\[ 7y = 4x + 2 \implies y = \frac{4x + 2}{7} \]
Теперь подставим \(y\) во второе уравнение:
\[ 11x - 9\left(\frac{4x + 2}{7}\right) = 15 \]
Умножим на 7:
\[ 77x - 9(4x + 2) = 105 \]
Раскроем скобки:
\[ 77x - 36x - 18 = 105 \]
Упрощаем:
\[ 41x - 18 = 105 \implies 41x = 123 \]
Теперь делим обе стороны на 41:
\[ x = \frac{123}{41} = 3 \]
Теперь подставим \(x\) обратно в первое уравнение для нахождения \(y\):
\[ -4(3) + 7y = 2 \implies -12 + 7y = 2 \] \[ 7y = 2 + 12 = 14 \] \[ y = 2 \]
Ответ для третьей системы:
\[ (x, y) = (3, 2) \]
Таким образом, ответ для всех систем уравнений:
- \( (1, -\frac{185}{37}) \)
- \( (-2, 4) \)
- \( (3, 2) \)
{ 18x+2y=8, x−4y=21. 2 ) 2) { 8 x + 9 y = 20 , − 3 x + 5 y = 26. { 8x+9y=20, −3x+5y=26. 3 ) 3) { − 4 x + 7 y = 2 , 11 x − 9 y = 15. { −4x+7y=2, 11x−9y=15.
Давайте решим каждую из предложенных систем уравнений по очереди.
1) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 18x + 2y = 8 \quad (1) \\ x - 4y = 21 \quad (2) \end{cases} \]
Решение:
Упростим первое уравнение: \[ 18x + 2y = 8 \quad \Rightarrow \quad 9x + y = 4 \quad (3) \]
Теперь выразим \(y\) из уравнения (3): \[ y = 4 - 9x \]
Подставим \(y\) в уравнение (2): \[ x - 4(4 - 9x) = 21 \] \[ x - 16 + 36x = 21 \] \[ 37x - 16 = 21 \quad \Rightarrow \quad 37x = 37 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Теперь подставим \(x\) обратно в уравнение (3) для нахождения \(y\): \[ y = 4 - 9(1) = 4 - 9 = -5 \]
Ответ для первой системы:
\[ (x, y) = (1, -5) \]
2) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 8x + 9y = 20 \quad (1) \\ -3x + 5y = 26 \quad (2) \end{cases} \]
Решение:
Решим первое уравнение относительно \(y\): \[ 9y = 20 - 8x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{20 - 8x}{9} \]
Подставим \(y\) во второе уравнение: \[ -3x + 5\left(\frac{20 - 8x}{9}\right) = 26 \] Умножим на 9, чтобы избавиться от дробей: \[ -27x + 5(20 - 8x) = 234 \] \[ -27x + 100 - 40x = 234 \] \[ -67x + 100 = 234 \] \[ -67x = 234 - 100 \quad \Rightarrow \quad -67x = 134 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]
Теперь подставим \(x\) обратно в первое уравнение для нахождения \(y\): \[ 8(-2) + 9y = 20 \quad \Rightarrow \quad -16 + 9y = 20 \] \[ 9y = 20 + 16 = 36 \quad \Rightarrow \quad y = 4 \]
Ответ для второй системы:
\[ (x, y) = (-2, 4) \]
3) Система уравнений:
\[ \begin{cases} -4x + 7y = 2 \quad (1) \\ 11x - 9y = 15 \quad (2) \end{cases} \]
Решение:
Решим первое уравнение относительно \(y\): \[ 7y = 4x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4x + 2}{7} \]
Подставим \(y\) во второе уравнение: \[ 11x - 9\left(\frac{4x + 2}{7}\right) = 15 \] Умножим уравнение на 7: \[ 77x - 9(4x + 2) = 105 \] \[ 77x - 36x - 18 = 105 \] \[ 41x - 18 = 105 \] \[ 41x = 123 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{123}{41} = 3 \]
Теперь подставим \(x\) обратно в первое уравнение для нахождения \(y\): \[ -4(3) + 7y = 2 \quad \Rightarrow \quad -12 + 7y = 2 \] \[ 7y = 2 + 12 = 14 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \]
Ответ для третьей системы:
\[ (x, y) = (3, 2) \]
Таким образом, ответы для всех систем уравнений такие:
- \( (1, -5) \)
- \( (-2, 4) \)
- \( (3, 2) \)
{ 5x−3y=−1, 2x+6y=50. Координаты точки пересечения: ( ( ; ; ) ) 3111a.svg
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 5x - 3y = -1 \quad (1) \\ 2x + 6y = 50 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(y\) из первого уравнения.
Из уравнения (1):
\[ 5x - 3y = -1 \quad \Rightarrow \quad -3y = -1 - 5x \quad \Rightarrow \quad 3y = 5x + 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{5x + 1}{3} \]
Шаг 2: Подставим \(y\) во второе уравнение.
Теперь подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение (2):
\[ 2x + 6\left(\frac{5x + 1}{3}\right) = 50 \]
Упростим уравнение.
Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[ 3(2x) + 6(5x + 1) = 150 \] \[ 6x + 30x + 6 = 150 \] \[ 36x + 6 = 150 \]
Теперь вычтем 6 из обеих сторон:
\[ 36x = 144 \]
Теперь делим обе стороны на 36:
\[ x = \frac{144}{36} = 4 \]
Шаг 3: Найдем \(y\).
Теперь подставим значение \(x = 4\) обратно в уравнение для \(y\):
\[ y = \frac{5(4) + 1}{3} = \frac{20 + 1}{3} = \frac{21}{3} = 7 \]
Итоговые координаты пересечения.
Координаты точки пересечения:
\[ (x, y) = (4, 7) \]
Ответ:
Координаты точки пересечения: \((4; 7)\)
{ 3x−4y=0, −5x+11y=26.
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 3x - 4y = 0 \quad (1) \\ -5x + 11y = 26 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(y\) из первого уравнения.
Из уравнения (1):
\[ 3x - 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad 4y = 3x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}x \]
Шаг 2: Подставим \(y\) во второе уравнение.
Теперь подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение (2):
\[ -5x + 11\left(\frac{3}{4}x\right) = 26 \]
Упрощаем уравнение.
Умножим:
\[ -5x + \frac{33}{4}x = 26 \]
Теперь умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ -20x + 33x = 104 \]
Сложим:
\[ 13x = 104 \]
Теперь делим обе стороны на 13:
\[ x = \frac{104}{13} = 8 \]
Шаг 3: Найдем \(y\).
Теперь подставим значение \(x = 8\) обратно в уравнение для \(y\):
\[ y = \frac{3}{4}(8) = 6 \]
Итоговые координаты пересечения.
Координаты точки пересечения:
\[ (x, y) = (8, 6) \]
Ответ:
Координаты точки пересечения: \((8; 6)\)
Проходят ли прямые, являющиеся графиками уравнений 8 x + 7 y = 18 8x+7y=18 , 5 x + 3 y = 15 5x+3y=15 и y − x = 11 y−x=11 , через одну и ту же точку?
Чтобы выяснить, проходят ли прямые, являющиеся графиками данных уравнений, через одну и ту же точку, мы сначала найдем координаты точек пересечения каждой пары уравнений.
1) Уравнения:
\[ \begin{cases} 8x + 7y = 18 \quad (1) \\ 5x + 3y = 15 \quad (2) \\ y - x = 11 \quad (3) \end{cases} \]
Шаг 1: Решим первую пару уравнений (1) и (2).
Решим систему:
\[ \begin{cases} 8x + 7y = 18 \quad (1) \\ 5x + 3y = 15 \quad (2) \end{cases} \]
Умножим второе уравнение на 7 и первое на 3:
\[ \begin{cases} 24x + 21y = 54 \quad (4) \\ 35x + 21y = 105 \quad (5) \end{cases} \]
Теперь вычтем (4) из (5):
\[ (35x + 21y) - (24x + 21y) = 105 - 54 \] \[ 11x = 51 \] \[ x = \frac{51}{11} = \frac{17}{11} \]
Подставим значение \(x\) в (2):
\[ 5\left(\frac{17}{11}\right) + 3y = 15 \] \[ \frac{85}{11} + 3y = 15 \] \[ 3y = 15 - \frac{85}{11} = \frac{165 - 85}{11} = \frac{80}{11} \] \[ y = \frac{80}{33} \]
Теперь точка пересечения (1) и (2): \[ \left(\frac{17}{11}, \frac{80}{33}\right) \]
Шаг 2: Решим вторую пару уравнений (2) и (3).
Теперь решим систему:
\[ \begin{cases} 5x + 3y = 15 \quad (2) \\ y - x = 11 \quad (3) \end{cases} \]
Из (3) выразим \(y\):
\[ y = x + 11 \]
Подставим это в (2):
\[ 5x + 3(x + 11) = 15 \] \[ 5x + 3x + 33 = 15 \] \[ 8x + 33 = 15 \] \[ 8x = 15 - 33 = -18 \] \[ x = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4} \]
Теперь найдем \(y\):
\[ y = -\frac{9}{4} + 11 = -\frac{9}{4} + \frac{44}{4} = \frac{35}{4} \]
Теперь точка пересечения (2) и (3): \[ \left(-\frac{9}{4}, \frac{35}{4}\right) \]
Шаг 3: Решим третью пару уравнений (1) и (3).
Теперь решим систему:
\[ \begin{cases} 8x + 7y = 18 \quad (1) \\ y - x = 11 \quad (3) \end{cases} \]
Из (3) выразим \(y\):
\[ y = x + 11 \]
Подставим это в (1):
\[ 8x + 7(x + 11) = 18 \] \[ 8x + 7x + 77 = 18 \] \[ 15x + 77 = 18 \] \[ 15x = 18 - 77 = -59 \] \[ x = -\frac{59}{15} \]
Теперь найдем \(y\):
\[ y = -\frac{59}{15} + 11 = -\frac{59}{15} + \frac{165}{15} = \frac{106}{15} \]
Теперь точка пересечения (1) и (3): \[ \left(-\frac{59}{15}, \frac{106}{15}\right) \]
Вывод:
Теперь у нас есть три точки пересечения:
- \(\left(\frac{17}{11}, \frac{80}{33}\right)\)
- \(\left(-\frac{9}{4}, \frac{35}{4}\right)\)
- \(\left(-\frac{59}{15}, \frac{106}{15}\right)\)
Поскольку все три точки различны, то прямые, соответствующие данным уравнениям, не проходят через одну и ту же точку.
Закончи решение системы уравнений: { y − 5 x = 12 , 7 y − 6 x = 26. { y−5x=12, 7y−6x=26. Выразим в одном из уравнений переменную y y y = 12 + 5 x y=12+5x Рассмотрим отдельно второе уравнение и подставим в него вместо y y полученное выражение: 7 ( 12 + 7(12+ ) − 6 x = 26 )−6x=26, 84 + 84+ − 6 x = 26 −6x=26, x − 6 x = 26 − x−6x=26− , x = x= , x = x= , y = y= . Ответ: ( ( ; ; ) ) Осталась 1 попытка
Давайте закончим решение системы уравнений:
\[ \begin{cases} y - 5x = 12 \quad (1) \\ 7y - 6x = 26 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(y\) из первого уравнения.
Мы уже выразили \(y\):
\[ y = 12 + 5x \]
Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение.
Теперь подставим \(y\) во второе уравнение (2):
\[ 7(12 + 5x) - 6x = 26 \]
Шаг 3: Раскроем скобки.
Раскроем скобки:
\[ 84 + 35x - 6x = 26 \]
Шаг 4: Объединим подобные члены.
Объединим подобные члены:
\[ 84 + 29x = 26 \]
Шаг 5: Переносим 84 на правую сторону.
Теперь вычтем 84 из обеих сторон:
\[ 29x = 26 - 84 \] \[ 29x = -58 \]
Шаг 6: Найдем \(x\).
Теперь делим обе стороны на 29:
\[ x = -\frac{58}{29} = -2 \]
Шаг 7: Найдем \(y\).
Теперь подставим значение \(x\) обратно в выражение для \(y\):
\[ y = 12 + 5(-2) = 12 - 10 = 2 \]
Ответ.
Таким образом, координаты точки пересечения:
\[ (x, y) = (-2, 2) \]
Ответ: \(( -2; 2 )\)
Реши систему уравнений: { 2 x + y = 11 , 6 x − y = 21. { 2x+y=11, 6x−y=21. Запиши ответ числами.
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2x + y = 11 \quad (1) \\ 6x - y = 21 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(y\) из первого уравнения.
Из уравнения (1) выразим \(y\):
\[ y = 11 - 2x \]
Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение.
Теперь подставим \(y\) во второе уравнение (2):
\[ 6x - (11 - 2x) = 21 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим.
Раскроем скобки:
\[ 6x - 11 + 2x = 21 \]
Теперь объединим подобные члены:
\[ 8x - 11 = 21 \]
Шаг 4: Переносим -11 на правую сторону.
Теперь добавим 11 к обеим сторонам:
\[ 8x = 21 + 11 \] \[ 8x = 32 \]
Шаг 5: Найдем \(x\).
Теперь делим обе стороны на 8:
\[ x = \frac{32}{8} = 4 \]
Шаг 6: Найдем \(y\).
Теперь подставим \(x\) обратно в уравнение для \(y\):
\[ y = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3 \]
Ответ.
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ (x, y) = (4, 3) \]
Ответ: \(4; 3\)
Вырази x x из равенства: 4 y − 2 x = 6 4y−2x=6.
Чтобы выразить \(x\) из равенства
\[ 4y - 2x = 6, \]
следуем следующим шагам:
Шаг 1: Переносим \(2x\) на правую сторону.
Добавим \(2x\) к обеим сторонам:
\[ 4y = 2x + 6. \]
Шаг 2: Переносим \(6\) на левую сторону.
Вычтем \(6\) из обеих сторон:
\[ 4y - 6 = 2x. \]
Шаг 3: Разделим обе стороны на 2.
Теперь делим обе стороны на 2, чтобы выразить \(x\):
\[ x = \frac{4y - 6}{2}. \]
Шаг 4: Упростим.
Упростим выражение:
\[ x = 2y - 3. \]
Ответ.
Таким образом, \(x\) выражается как:
\[ x = 2y - 3. \]
Реши систему уравнений: { 2 ( 2 x − 3 ) + 5 = 13 − 3 x , 2 ( 2 x − y ) − 3 y = 10 − 6 y . { 2(2x−3)+5=13−3x, 2(2x−y)−3y=10−6y. Запиши ответ числами.
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2(2x - 3) + 5 = 13 - 3x \quad (1) \\ 2(2x - y) - 3y = 10 - 6y \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Решим первое уравнение (1).
Начнем с уравнения:
\[ 2(2x - 3) + 5 = 13 - 3x \]
Раскроем скобки:
\[ 4x - 6 + 5 = 13 - 3x \]
Упростим:
\[ 4x - 1 = 13 - 3x \]
Теперь добавим \(3x\) к обеим сторонам:
\[ 4x + 3x - 1 = 13 \]
\[ 7x - 1 = 13 \]
Теперь добавим 1 к обеим сторонам:
\[ 7x = 14 \]
Теперь делим обе стороны на 7:
\[ x = 2 \]
Шаг 2: Найдем \(y\) во втором уравнении (2).
Теперь подставим \(x = 2\) во второе уравнение:
\[ 2(2(2) - y) - 3y = 10 - 6y \]
Упростим:
\[ 2(4 - y) - 3y = 10 - 6y \]
Раскроем скобки:
\[ 8 - 2y - 3y = 10 - 6y \]
Упростим:
\[ 8 - 5y = 10 - 6y \]
Теперь добавим \(6y\) к обеим сторонам:
\[ 8 + y = 10 \]
Вычтем 8 из обеих сторон:
\[ y = 2 \]
Ответ.
Таким образом, решения системы уравнений:
\[ (x, y) = (2, 2) \]
Ответ: \(2; 2\)
