Первообразная 4x^2+12x+9
Чтобы найти первообразную (неопределённый интеграл) функции \(4x^2 + 12x + 9\), следуем пошагово:
Форма интеграла:
Мы хотим вычислить интеграл от функции \(4x^2 + 12x + 9\): \[ \int (4x^2 + 12x + 9) \, dx \]Свойства интегралов:
Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций: \[ \int (a + b + c) \, dx = \int a \, dx + \int b \, dx + \int c \, dx \] Таким образом, мы можем разбить наш интеграл на три части: \[ \int (4x^2 + 12x + 9) \, dx = \int 4x^2 \, dx + \int 12x \, dx + \int 9 \, dx \]Интегрирование каждой части:
Теперь найдем интеграл каждой части по отдельности.Первый интеграл:
\[ \int 4x^2 \, dx = 4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{4x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3 \]Второй интеграл:
\[ \int 12x \, dx = 12 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 12 \cdot \frac{x^2}{2} = 6x^2 \]Третий интеграл:
\[ \int 9 \, dx = 9x \]
Сложение результатов:
Теперь мы можем сложить все найденные интегралы: \[ \int (4x^2 + 12x + 9) \, dx = \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 + 9x + C \] где \(C\) — произвольная константа интегрирования.Итоговое выражение:
Таким образом, первообразная функции \(4x^2 + 12x + 9\) будет: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 + 9x + C \]
Теперь вы знаем, как находить первообразную для данной функции. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
