На гипотенузе АВ прямоугольного равнобедренного треугольника АВС отметили точку F так, что AF : FB = 8: 1. На стороне ВС отмети ли точку К так, что АК 1 СР. Найдите отношение СК:…

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник \(ABC\), где угол \(C\) — прямой. Обозначим длину равных сторон \(AC\) и \(BC\) как \(a\). Тогда гипотенуза \(AB\) по теореме Пифагора будет равна:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. \]

Теперь, отметим точку \(F\) на гипотенузе \(AB\) так, что отношение \(AF : FB = 8 : 1\). Обозначим длину отрезка \(AF\) как \(8x\) и тогда \(FB = x\).

Сумма отрезков будет равна длине гипотенузы: \[ AF + FB = 8x + x = 9x. \] Приравняем это к гипотенузе: \[ 9x = a\sqrt{2}. \] Тогда, получаем: \[ x = \frac{a\sqrt{2}}{9}. \] Теперь можем найти длину отрезков: \[ AF = 8x = 8 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{9} = \frac{8a\sqrt{2}}{9}, \] \[ FB = x = \frac{a\sqrt{2}}{9}. \]

Теперь перейдем к определению точки \(K\) на стороне \(BC\) такого, что \(AK : KC = 1 : 1\). Это значит, что отрезки \(AK\) и \(KC\) равны между собой.

Так как \(AK\) и \(KC\) равны, обозначим их длину как \(y\): \[ AK = KC = y. \] С учетом геометрии треугольника, длина \(AC\) равна \(a\), тогда: \[ AK + KC = AC \implies y + y = a \implies 2y = a \implies y = \frac{a}{2}. \]

Теперь мы можем рассмотреть отрезок \(CB\), который равен \(a\) (так как \(BC = AC = a\)). Поскольку \(K\) делит отрезок \(BC\) на \(CK + KB = a\), получим: \[ CB = CK + KC = CK + y. \]

С точки зрения пропорции \(CK\) и \(KB\), где \(KB\) равен половине оставшегося отрезка (так как \(K\) делит его пополам), имеем: \[ CK : CB = CK : (CK + y) = CK : (CK + \frac{a}{2}). \]

Давайте найдем \(CK\): \[ CK = a - AK = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}. \]

Следовательно, \(CK = \frac{a}{2}\) и \(CB = a\).

Теперь найдем отношение \(CK : CB\): \[ CK : CB = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2} : 1 = 1 : 2. \]

Итак, ответ: \[ СК : СВ = 1 : 2. \]