в корзине 5 красных и 3 синих шара.какова вероятность того, что среди выбранных на удачу 2 шаров окажется синий и один красный

Чтобы решить задачу о вероятности, давайте разберём её шаг за шагом.

Дано:

• В корзине 5 красных шаров и 3 синих шара.
• Необходимо выбрать 3 шара, при этом 2 из них должны быть синими, а 1 — красным.

Шаг 1: Определение общего числа шаров

Общее количество шаров в корзине:

• 5 (красные) + 3 (синие) = 8 (всего шаров)

Шаг 2: Определение количества способов выбрать шары

Теперь нам нужно рассчитать:

1. Количество способов выбрать 2 синих шара из 3.
2. Количество способов выбрать 1 красный шар из 5.
3. Общее количество способов выбрать 3 шара из 8.

1. Количество способов выбрать 2 синих шара из 3

Используем формулу сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество, \( k \) — количество выбираемых.

В нашем случае:

• \( n = 3 \) (синие шары)
• \( k = 2 \)

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \]

2. Количество способов выбрать 1 красный шар из 5

• \( n = 5 \) (красные шары)
• \( k = 1 \)

\[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5 \]

3. Общее количество способов выбрать 3 шара из 8

• \( n = 8 \) (все шары)
• \( k = 3 \)

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56 \]

Шаг 3: Подсчёт желаемого исхода

Теперь мы можем подсчитать общее количество способов выбрать 2 синих шара и 1 красный шар, умножив наши результаты:

• Способы выбора 2 синих: 3
• Способы выбора 1 красного: 5

\[ \text{Общее количество исходов} = C(3, 2) \cdot C(5, 1) = 3 \cdot 5 = 15 \]

Шаг 4: Подсчёт вероятности

Теперь, чтобы найти вероятность того, что среди выбранных 3 шаров будет 2 синих и 1 красный, используем формулу:

\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{15}{56} \]

Ответ:

Вероятность того, что среди выбранных на удачу 3 шаров окажется 2 синих и 1 красный, равна \( \frac{15}{56} \).