Вопрос от Анонимного юзера 07 марта 2025 06:49

Question 1

В корзине 5 красных и 3 синих шара.какова вероятность того, что среди выбранных на удачу 2 шаров окажется синий и один красный

Answer

Чтобы решить задачу о вероятности, давайте разберём её шаг за шагом.

Дано:

В корзине 5 красных шаров и 3 синих шара.
Необходимо выбрать 3 шара, при этом 2 из них должны быть синими, а 1 — красным.

Шаг 1: Определение общего числа шаров

Общее количество шаров в корзине:

5 (красные) + 3 (синие) = 8 (всего шаров)

Шаг 2: Определение количества способов выбрать шары

Теперь нам нужно рассчитать:

Количество способов выбрать 2 синих шара из 3.
Количество способов выбрать 1 красный шар из 5.
Общее количество способов выбрать 3 шара из 8.

1. Количество способов выбрать 2 синих шара из 3

Используем формулу сочетаний:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

где ( n ) — общее количество, ( k ) — количество выбираемых.

В нашем случае:

( n = 3 ) (синие шары)
( k = 2 )

[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 ]

2. Количество способов выбрать 1 красный шар из 5

( n = 5 ) (красные шары)
( k = 1 )

[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5 ]

3. Общее количество способов выбрать 3 шара из 8

( n = 8 ) (все шары)
( k = 3 )

[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56 ]

Шаг 3: Подсчёт желаемого исхода

Теперь мы можем подсчитать общее количество способов выбрать 2 синих шара и 1 красный шар, умножив наши результаты:

Способы выбора 2 синих: 3
Способы выбора 1 красного: 5

[ \text{Общее количество исходов} = C(3, 2) \cdot C(5, 1) = 3 \cdot 5 = 15 ]

Шаг 4: Подсчёт вероятности

Теперь, чтобы найти вероятность того, что среди выбранных 3 шаров будет 2 синих и 1 красный, используем формулу:

[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{15}{56} ]

Ответ:

Вероятность того, что среди выбранных на удачу 3 шаров окажется 2 синих и 1 красный, равна ( \frac{15}{56} ).

Question 2

в корзине 5 красных и 3 синих шара.какова вероятность того, что среди выбранных на удачу 2 шаров окажется синий и один красный

Answer

Чтобы решить задачу о вероятности, давайте разберём её шаг за шагом. ### Дано: - В корзине 5 красных шаров и 3 синих шара. - Необходимо выбрать 3 шара, при этом 2 из них должны быть синими, а 1 — красным. ### Шаг 1: Определение общего числа шаров Общее количество шаров в корзине: - **5 (красные) + 3 (синие) = 8 (всего шаров)** ### Шаг 2: Определение количества способов выбрать шары Теперь нам нужно рассчитать: 1. **Количество способов выбрать 2 синих шара из 3.** 2. **Количество способов выбрать 1 красный шар из 5.** 3. **Общее количество способов выбрать 3 шара из 8.** #### 1. Количество способов выбрать 2 синих шара из 3 Используем формулу сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество, \( k \) — количество выбираемых. В нашем случае: - \( n = 3 \) (синие шары) - \( k = 2 \) \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \] #### 2. Количество способов выбрать 1 красный шар из 5 - \( n = 5 \) (красные шары) - \( k = 1 \) \[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5 \] #### 3. Общее количество способов выбрать 3 шара из 8 - \( n = 8 \) (все шары) - \( k = 3 \) \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56 \] ### Шаг 3: Подсчёт желаемого исхода Теперь мы можем подсчитать общее количество способов выбрать 2 синих шара и 1 красный шар, умножив наши результаты: - Способы выбора 2 синих: 3 - Способы выбора 1 красного: 5 \[ \text{Общее количество исходов} = C(3, 2) \cdot C(5, 1) = 3 \cdot 5 = 15 \] ### Шаг 4: Подсчёт вероятности Теперь, чтобы найти вероятность того, что среди выбранных 3 шаров будет 2 синих и 1 красный, используем формулу: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{15}{56} \] ### Ответ: Вероятность того, что среди выбранных на удачу 3 шаров окажется 2 синих и 1 красный, равна \( \frac{15}{56} \).