1. Скорость движения материальной точки задаётся формулой v(t) = (4t3-2t+1) М/с. Найти путь, пройденный точкой за первые четыре секунды движения.
Чтобы найти путь, пройденный материальной точкой за первые четыре секунды движения, нам необходимо воспользоваться скоростью, заданной функцией \( v(t) = 4t^3 - 2t + 1 \). Путь можно найти, интегрируя скорость по времени.
Шаг 1: Записать интеграл
Путь \( S \) за время от 0 до 4 секунд можно найти как определенный интеграл скорости:
\[ S = \int_{0}^{4} v(t) \, dt \]
Шаг 2: Подставить скорость в интеграл
Теперь подставим выражение для скорости в интеграл:
\[ S = \int_{0}^{4} (4t^3 - 2t + 1) \, dt \]
Шаг 3: Вычислить интеграл
Мы можем вычислять интеграл поочередно:
Интегрируем \( 4t^3 \): \[ \int 4t^3 \, dt = 4 \cdot \frac{t^4}{4} = t^4 \]
Интегрируем \( -2t \): \[ \int -2t \, dt = -2 \cdot \frac{t^2}{2} = -t^2 \]
Интегрируем \( 1 \): \[ \int 1 \, dt = t \]
Теперь объединяем результаты:
\[ \int (4t^3 - 2t + 1) \, dt = t^4 - t^2 + t \]
Шаг 4: Вычислить определенный интеграл
Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до 4:
\[ S = \left[ t^4 - t^2 + t \right]_{0}^{4} \]
Подставляем \( t = 4 \):
\[ S(4) = 4^4 - 4^2 + 4 = 256 - 16 + 4 = 244 \]
Теперь подставляем \( t = 0 \):
\[ S(0) = 0^4 - 0^2 + 0 = 0 \]
Шаг 5: Найти разность
Теперь находим путь:
\[ S = S(4) - S(0) = 244 - 0 = 244 \, \text{м} \]
Ответ
Таким образом, путь, пройденный точкой за первые четыре секунды движения, равен 244 метра.
Обсуждение
2 сообщения. Скорость движения изменяется по закону v(t) = 2t ^ M / c . Найти путь, пройденный телом за третью секунду движения.
Чтобы найти путь, пройденный телом за третью секунду движения, необходимо рассмотреть скорость, заданную формулой
\[ v(t) = \frac{2t^M}{c}, \]
где \( M \) и \( c \) — константы. Мы будем искать путь, пройденный телом в промежутке от \( t = 2 \) до \( t = 3 \).
Шаг 1: Найти путь между 2-й и 3-й секундой
Путь \( S \) можно найти как определенный интеграл от скорости между указанными пределами:
\[ S = \int_{2}^{3} v(t) \, dt = \int_{2}^{3} \frac{2t^M}{c} \, dt. \]
Шаг 2: Вычислить интеграл
Вынесем постоянную \( \frac{2}{c} \) за знак интеграла: \[ S = \frac{2}{c} \int_{2}^{3} t^M \, dt. \]
Интегрируем \( t^M \): \[ \int t^M \, dt = \frac{t^{M+1}}{M+1} + C \quad (M \neq -1). \]
Шаг 3: Подставить пределы интегрирования
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ S = \frac{2}{c} \left[ \frac{t^{M+1}}{M+1} \right]_{2}^{3}. \]
Шаг 4: Вычисление выражения
Теперь вычислим это выражение:
\[ S = \frac{2}{c} \left( \frac{3^{M+1}}{M+1} - \frac{2^{M+1}}{M+1} \right) = \frac{2}{c(M+1)} \left( 3^{M+1} - 2^{M+1} \right). \]
Ответ
Таким образом, путь, пройденный телом за третью секунду движения, равен:
\[ S = \frac{2}{c(M+1)} (3^{M+1} - 2^{M+1}) \text{ метра.} \]
Выражение зависит от значений \( M \) и \( c \).
