Чтобы найти путь, пройденный материальной точкой за первые четыре секунды движения, нам необходимо воспользоваться скоростью, заданной функцией ( v(t) = 4t^3 - 2t + 1 ). Путь можно найти, интегрируя скорость по времени.
Шаг 1: Записать интеграл
Путь ( S ) за время от 0 до 4 секунд можно найти как определенный интеграл скорости:
[
S = \int_{0}^{4} v(t) , dt
]
Шаг 2: Подставить скорость в интеграл
Теперь подставим выражение для скорости в интеграл:
[
S = \int_{0}^{4} (4t^3 - 2t + 1) , dt
]
Шаг 3: Вычислить интеграл
Мы можем вычислять интеграл поочередно:
Интегрируем ( 4t^3 ):
[
\int 4t^3 , dt = 4 \cdot \frac{t^4}{4} = t^4
]
Интегрируем ( -2t ):
[
\int -2t , dt = -2 \cdot \frac{t^2}{2} = -t^2
]
Интегрируем ( 1 ):
[
\int 1 , dt = t
]
Теперь объединяем результаты:
[
\int (4t^3 - 2t + 1) , dt = t^4 - t^2 + t
]
Шаг 4: Вычислить определенный интеграл
Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до 4:
[
S = \left[ t^4 - t^2 + t \right]_{0}^{4}
]
Подставляем ( t = 4 ):
[
S(4) = 4^4 - 4^2 + 4 = 256 - 16 + 4 = 244
]
Теперь подставляем ( t = 0 ):
[
S(0) = 0^4 - 0^2 + 0 = 0
]
Шаг 5: Найти разность
Теперь находим путь:
[
S = S(4) - S(0) = 244 - 0 = 244 , \text{м}
]
Ответ
Таким образом, путь, пройденный точкой за первые четыре секунды движения, равен 244 метра.
