Артём составляет пятибуквенные слова из букв своего имени. Он ввёл два правила: не повторять буквы в одном слове и не ставить гласные первыми и последними одновременно. Сколько…

Чтобы решить задачу, сначала определим составляющие Артёма имя и подходим к правилам.

1. Состав имен: Имя Артём состоит из 5 букв: А, Р, Т, Ё, М.

2. Правила:

   • Не повторять буквы в одном слове.
   • Гласные (А, Ё) не могут быть первыми и последними одновременно.

3. Определение гласных и согласных:

   • Гласные: А, Ё (2 гласные)
   • Согласные: Р, Т, М (3 согласные)

Теперь будем рассматривать все возможные варианты составления пятибуквенных слов, соблюдая данные правила.

Шаг 1: Найдём общее количество всех возможных слов из 5 букв.

Поскольку у нас 5 уникальных букв, общее количество перестановок (пятибуквенных слов) можно найти по формуле факториала: \[ 5! = 120 \]

Шаг 2: Исключим слова, нарушающие правила.

Теперь нужно учесть правило о гласных. Мы хотим исключить те слова, где гласные стоят на первых и последних позициях.

Случай: Гласные на первом и последнем местах

• Выберем буквы:

  • Первая буква: А или Ё (2 варианта).
  • Последняя буква: другая гласная (1 вариант).

  Следовательно, на первую и последнюю позиции мы можем поставить:

  • Если на первой позиции стоит А, то на последней будет Ё (и наоборот).

На двух оставшихся местах должны быть согласные Р, Т, М. Количество перестановок для 3 согласных: \[ 3! = 6 \]

Итог для случаев с гласными на первом и последнем месте:

Общее количество ненужных слов: \[ 2 \text{ (выбор первой буквы)} \times 6 \text{ (перестановки оставшихся)} = 12 \]

Шаг 3: Вычтем ненужные слова из общего количества.

Общее количество действительных слов: \[ 120 - 12 = 108 \]

Ответ:

Таким образом, Артём может составить 108 уникальных пятибуквенных слов, соблюдая заданные правила.