Сколько элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам?

Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли с 4 успехами, мы можем воспользоваться формулой сочетаний. Начнем с объяснения каждого этапа: ### Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли Испытание Бернулли — это эксперимент или процесс, который может произвести только два исхода: "успех" (например, да) и "неудача" (например, нет). В нашем случае мы имеем 9 таких испытаний, и нам необходимо узнать, сколько из них завершаются успехом (в нашем случае 4). ### Шаг 2: Формула для количества сочетаний Количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний можно выразить через комбинаторную формулу, которая обозначается как \( C(n, k) \): \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 9), - \( k \) — количество успехов (в нашем случае 4), - \( ! \) — факториал числа, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа. ### Шаг 3: Подставляем значения в формулу Теперь мы можем подставить наши значения в формулу сочетаний: - \( n = 9 \) - \( k = 4 \) \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} \] ### Шаг 4: Вычисление факториалов Теперь нужно вычислить факториалы: - \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \) (заметим, что \( 5! \) можно сократить) - \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) - \( 5! = 120 \) Подставляем в формулу: \[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{4! \times 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} \] Теперь вычислим: \[ = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} \] ### Шаг 5: Окончательное вычисление Далее, произведем умножение и деление: 1. Сначала считаем числитель: \( 9 \times 8 = 72 \) \( 72 \times 7 = 504 \) \( 504 \times 6 = 3024 \) 2. Теперь делим на 24: \[ C(9, 4) = \frac{3024}{24} = 126 \] ### Ответ Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 4 успехам в серии из 9 испытаний Бернулли, составляет **126**.