Сколько элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам?

Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли с 4 успехами, мы можем воспользоваться формулой сочетаний. Начнем с объяснения каждого этапа:

Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли

Испытание Бернулли — это эксперимент или процесс, который может произвести только два исхода: "успех" (например, да) и "неудача" (например, нет). В нашем случае мы имеем 9 таких испытаний, и нам необходимо узнать, сколько из них завершаются успехом (в нашем случае 4).

Шаг 2: Формула для количества сочетаний

Количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний можно выразить через комбинаторную формулу, которая обозначается как \( C(n, k) \):

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 9),
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае 4),
• \( ! \) — факториал числа, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

Теперь мы можем подставить наши значения в формулу сочетаний:

• \( n = 9 \)
• \( k = 4 \)

\[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Теперь нужно вычислить факториалы:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \) (заметим, что \( 5! \) можно сократить)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 5! = 120 \)

Подставляем в формулу:

\[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{4! \times 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} \]

Теперь вычислим:

\[ = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} \]

Шаг 5: Окончательное вычисление

Далее, произведем умножение и деление:

1. Сначала считаем числитель:
   \( 9 \times 8 = 72 \)
   \( 72 \times 7 = 504 \)
   \( 504 \times 6 = 3024 \)

2. Теперь делим на 24:

\[ C(9, 4) = \frac{3024}{24} = 126 \]

Ответ

Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 4 успехам в серии из 9 испытаний Бернулли, составляет 126.