Задание 1 Используя формулы сложения для тангенсов и катангенса найдите значение: 1)tg 15°; 2)ctg 15°; 3)tg 75°; 4)tg 105°; 5)ctg 75° 6)ctg 105°. Задание 2 Выразите ctg a/2 через: 1)синус альфа и косинус альфа 2)тангенс альфа 3) катангенс альфа. Задание 3. Найдите значения:синус альфа/2, косинус альфа/2, тангенс альфа/2,если синус альфа 1/3 и 0<альфа<π/2

Давайте решим каждое задание по очереди и подробно объясним подход к их решению. ### Задание 1 **1) Найдем tg 15°:** Для вычисления тангенса угла 15° воспользуемся формулой для разности углов: \[ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \] Пусть \(a = 45°\) и \(b = 30°\). Тогда: \[ \tan(15°) = \tan(45° - 30°) = \frac{\tan 45° - \tan 30°}{1 + \tan 45° \tan 30°} \] Значения тангенсов: - \(\tan 45° = 1\) - \(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\) Подставляем в формулу: \[ \tan 15° = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ \tan 15° = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \] **2) Найдем ctg 15°:** Катангенс является обратной величиной к тангенсу: \[ \cot 15° = \frac{1}{\tan 15°} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] **3) Найдем tg 75°:** Используем формулу тангенса для суммы углов: \[ \tan(75°) = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \tan 30°} \] Подставляем значения: \[ \tan 75° = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Умножаем: \[ \tan 75° = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] **4) Найдем tg 105°:** Используем формулу для разности: \[ \tan(105°) = \tan(90° + 15°) = -\cot 15° \] где значение \(-\cot 15°\) уже вычислено. **5) Найдем ctg 75°:** \[ \cot 75° = \frac{1}{\tan 75°} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \] **6) Найдем ctg 105°:** \[ \cot 105° = -\tan 15° \] используя предыдущее значение тангенса. ### Задание 2 **1) Выразим ctg(a/2) через синус и косинус:** Используем формулу для катангенса угла: \[ \cot \frac{a}{2} = \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} \] Попробуем использовать формулы половинного угла: \[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}, \quad \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} \] Тогда \[ \cot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}}}{\sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}} = \frac{\sqrt{1 + \cos a}}{\sqrt{1 - \cos a}} \] **2) Выразим через тангенс:** \[ \cot \frac{a}{2} = \frac{1}{\tan \frac{a}{2}} = \frac{1 + \tan a}{\tan a} \] **3) Выразим через катангенс:** \[ \cot \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cot a}{1 - \cot a}} \] ### Задание 3 Найдём значения для синуса, косинуса и тангенса половинного угла, используя: \[ \sin \alpha = \frac{1}{3} \] **Сначала вычислим cos α:** Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Следовательно, \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Теперь можем найти значения: 1. **Синус половинного угла:** \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}} \] 2. **Косинус половинного угла:** \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}} \] 3. **Тангенс половинного угла:** \[ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}}{\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}} \] Теперь все задания решены, если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!