Задание 1 Используя формулы сложения для тангенсов и катангенса найдите значение: 1)tg 15°; 2)ctg 15°; 3)tg 75°; 4)tg 105°; 5)ctg 75° 6)ctg 105°. Задание 2 Выразите ctg a/2 через:…

Давайте решим каждое задание по очереди и подробно объясним подход к их решению.

Задание 1

1) Найдем tg 15°:

Для вычисления тангенса угла 15° воспользуемся формулой для разности углов:

\[ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \]

Пусть \(a = 45°\) и \(b = 30°\). Тогда:

\[ \tan(15°) = \tan(45° - 30°) = \frac{\tan 45° - \tan 30°}{1 + \tan 45° \tan 30°} \]

Значения тангенсов:

• \(\tan 45° = 1\)
• \(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Подставляем в формулу:

\[ \tan 15° = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ \tan 15° = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \]

2) Найдем ctg 15°:

Катангенс является обратной величиной к тангенсу:

\[ \cot 15° = \frac{1}{\tan 15°} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]

3) Найдем tg 75°:

Используем формулу тангенса для суммы углов:

\[ \tan(75°) = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \tan 30°} \]

Подставляем значения:

\[ \tan 75° = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

Умножаем:

\[ \tan 75° = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]

4) Найдем tg 105°:

Используем формулу для разности:

\[ \tan(105°) = \tan(90° + 15°) = -\cot 15° \] где значение \(-\cot 15°\) уже вычислено.

5) Найдем ctg 75°:

\[ \cot 75° = \frac{1}{\tan 75°} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \]

6) Найдем ctg 105°:

\[ \cot 105° = -\tan 15° \] используя предыдущее значение тангенса.

Задание 2

1) Выразим ctg(a/2) через синус и косинус:

Используем формулу для катангенса угла:

\[ \cot \frac{a}{2} = \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} \]

Попробуем использовать формулы половинного угла:

\[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}, \quad \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} \]

Тогда

\[ \cot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}}}{\sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}} = \frac{\sqrt{1 + \cos a}}{\sqrt{1 - \cos a}} \]

2) Выразим через тангенс:

\[ \cot \frac{a}{2} = \frac{1}{\tan \frac{a}{2}} = \frac{1 + \tan a}{\tan a} \]

3) Выразим через катангенс:

\[ \cot \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cot a}{1 - \cot a}} \]

Задание 3

Найдём значения для синуса, косинуса и тангенса половинного угла, используя: \[ \sin \alpha = \frac{1}{3} \]

Сначала вычислим cos α:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Следовательно,

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Теперь можем найти значения:

1. Синус половинного угла: \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}} \]

2. Косинус половинного угла: \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}} \]

3. Тангенс половинного угла: \[ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}}{\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}} \]

Теперь все задания решены, если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!