Для решения задачи о пружинах и зарядах, разберем ее пошагово.
Дано:
- Жесткость пружины ( k = 1.22 , \text{Н/м} )
- Заряд каждого объекта ( q = 500 , \text{нКл} = 500 \times 10^{-9} , \text{Кл} )
- Растяжение пружины ( \Delta x = 0.7 , \text{см} = 0.007 , \text{м} )
1. Определим силу, действующую на пружину:
Согласно закону Гука, сила, которая растягивает пружину, равна:
[
F = k \cdot \Delta x
]
Подставим известные значения:
[
F = 1.22 , \text{Н/м} \cdot 0.007 , \text{м} = 0.00854 , \text{Н}
]
2. Найдем силу взаимодействия между зарядами:
Сила взаимодействия между двумя зарядами описывается законом Кулона:
[
F = k_e \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}
]
где ( k_e ) — электрическая постоянная, равная примерно ( 8.99 \times 10^9 , \text{Н m}^2/\text{Кл}^2 ), ( r ) — расстояние между зарядами.
При этом, так как у нас три объекта, образующие правильный треугольник, расстояние ( r ) между любыми двумя объектами в первоначальном состоянии (без растяжения пружины) — это та длина, которую мы ищем.
Мы знаем, что сила, действующая через пружину, равна силе электростатического взаимодействия:
[
k \cdot \Delta x = k_e \cdot \frac{q^2}{r^2}
]
3. Подставляем значения и решаем уравнение:
Подставим известные значения в уравнение:
[
0.00854 = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(500 \times 10^{-9})^2}{r^2}
]
Сначала найдём квадрат заряда:
[
(500 \times 10^{-9})^2 = 250 \times 10^{-18} = 2.5 \times 10^{-16} , \text{Кл}^2
]
Теперь подставим значение в уравнение:
[
0.00854 = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{2.5 \times 10^{-16}}{r^2}
]
Перепишем уравнение для нахождения ( r^2 ):
[
r^2 = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{2.5 \times 10^{-16}}{0.00854}
]
Рассчитаем правую часть:
[
r^2 = 8.99 \times 10^9 \cdot 2.5 \times 10^{-16} \approx 2.2475 \times 10^{-6}
]
[
r^2 \approx \frac{2.2475 \times 10^{-6}}{0.00854} \approx 2.63 \times 10^{-4}
]
Теперь найдём ( r ):
[
r = \sqrt{2.63 \times 10^{-4}} \approx 0.0162 , \text{м} = 1.62 , \text{см}
]
4. Округление:
Ответ округляем до сотых:
[
\text{Длина пружины в первоначальном состоянии} \approx 1.62 , \text{см}
]
Ответ:
Длина пружины в первоначальном состоянии: 1.62 см.
