Решим все поставленные задачи по графам по порядку.
Задача 1
Может ли суммарная степень вершин графа быть равной 11?
Для графа выполняется правило о степени вершин, которое гласит, что сумма степеней всех вершин графа должна быть четным числом. Это связано с тем, что каждое ребро соединяет две вершины и, следовательно, увеличивает степень двух вершин на единицу. Если суммировать все степени, каждый ребро будет учтено дважды.
Сумма степеней = 11 → Не может быть, так как 11 - нечетное число.
Ответ:
Нет, суммарная степень вершин графа не может быть равной 11, так как сумма степеней должна быть четной.
Задача 2
В графе 5 вершин со степенями 0, 2, 2, 3, 3. Сколько в нем ребер? Нарисуй такой граф.
Чтобы определить количество ребер (E) в графе, можно использовать формулу:
[
E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i
]
где (d_i) - степень каждой вершины.
- Степени: 0, 2, 2, 3, 3.
- Суммируем степени: (0 + 2 + 2 + 3 + 3 = 10).
- Подставляем в формулу:
[
E = \frac{10}{2} = 5
]
Теперь нарисуем граф:
- Вершина со степенью 0: она не соединена ни с одной.
- Вершины со степенями 2 и 3 могут быть соединены так, чтобы реализовать указанные степени.
Пример графа:
- Вершина A (степень 0)
- Вершина B (степень 2): соединена с C и D.
- Вершина C (степень 2): соединена с B и E.
- Вершина D (степень 3): соединена с B, E и D (где D соединяется обратно с C).
- Вершина E (степень 3): соединена с D, C и D.
Ответ:
В графе 5 ребер. Пример возможной конфигурации: A - (нет соединений), B - соединен с C и D, C - соединен с B и E, D - соединен с B, E и, возможно, с C/E.
Задача 3
Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог? Почему?
Согласно правилам графов, если из каждого города выходит 3 дороги (это степень каждого города), и пусть в государстве n городов, тогда:
[
\text{Сумма степеней} = 3n
]
Сумма степеней также равна (2E), где (E) - количество дорог:
[
3n = 2E
]
Для 100 дорог:
[
3n = 2 \times 100 = 200 \implies n = \frac{200}{3} \approx 66.67
]
Количество городов не может быть дробным, следовательно, с 3 дорогами из каждого города в графе не может быть 100 дорог.
Ответ:
Нет, не может быть ровно 100 дорог, так как количество городов не может быть дробным.
Задача 4
В классе 30 человек. Дружба во всех случаях взаимная. Может ли быть так, что у 9 из них есть 3 друга в этом классе, у 11 - 4 друга, а у 10 - 5 друзей? Почему?
Давайте посчитаем общее количество дружеских отношений:
- У 9 человек по 3 друга: (9 \times 3 = 27).
- У 11 человек по 4 друга: (11 \times 4 = 44).
- У 10 человек по 5 друзей: (10 \times 5 = 50).
Сложим все эти количества:
[
27 + 44 + 50 = 121
]
Однако каждая дружба учитывается дважды (каждый друг считается для обоих участников), поэтому общее количество уникальных дружеских связей будет:
[
\frac{121}{2} = 60.5
]
Количество дружеских связей должно быть целым числом, следовательно, такое распределение друзей невозможно.
Ответ:
Нет, не может быть так, так как общее количество дружеских связей должно быть целым числом.
