Первый и второй насосы наполняют бассейн за 21 минуту, второй и третий- 36 минут, а первый и третий- за 28 мин . За сколько минут наполняет бассейн эти три насоса вместе

Для решения задачи определим скорость работы каждого насоса:

Обозначим:

• \( x \) – время, за которое бассейн заполняет первый насос (в минутах).
• \( y \) – время, за которое бассейн заполняет второй насос.
• \( z \) – время, за которое бассейн заполняет третий насос.

Скорость работы насосов:

• Первый насос: \( \frac{1}{x} \) бассейна в минуту.
• Второй насос: \( \frac{1}{y} \).
• Третий насос: \( \frac{1}{z} \).

Составим уравнения на основе условий задачи:

1. Первый и второй насосы заполняют бассейн за 21 минуту: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21} \]

2. Второй и третий насосы заполняют бассейн за 36 минут: \[ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{36} \]

3. Первый и третий насосы заполняют бассейн за 28 минут: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{28} \]

Нужно найти: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \]

Сложим все три уравнения: \[ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + (\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{21} + \frac{1}{36} + \frac{1}{28} \]

Упростим: \[ 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{21} + \frac{1}{36} + \frac{1}{28} \]

Найдем общий знаменатель для суммы:

• НОК (21, 36, 28) = 252

Приведем дроби к общему знаменателю:

• \(\frac{1}{21} = \frac{12}{252}\)
• \(\frac{1}{36} = \frac{7}{252}\)
• \(\frac{1}{28} = \frac{9}{252}\)

Сложим дроби: \[ \frac{12}{252} + \frac{7}{252} + \frac{9}{252} = \frac{28}{252} = \frac{1}{9} \]

Теперь: \[ 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{9} \]

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{18} \]

Таким образом, три насоса вместе наполняют бассейн за 18 минут.

Теперь перейдём ко второй части задачи: \[ 3 \frac{2}{5} + 4 \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{6} \right) \]

1. Преобразуем дроби в неправильные: \[ 3 \frac{2}{5} = \frac{17}{5}, \quad 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \]

2. Найдём разность дробей: \[ \frac{1}{18} - \frac{1}{6} = \frac{1}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9} \]

3. Умножим дробь: \[ \frac{9}{2} \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -\frac{1}{2} \]

4. Сложим всё вместе: \[ \frac{17}{5} - \frac{1}{2} \]

5. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{17}{5} = \frac{34}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \]

6. Найдём разность: \[ \frac{34}{10} - \frac{5}{10} = \frac{29}{10} = 2 \frac{9}{10} \]

Ответ: \(2 \frac{9}{10}\).