Первый и второй насосы наполняют бассейн за 21 минуту, второй и третий- 36 минут, а первый и третий- за 28 мин . За сколько минут наполняет бассейн эти три насоса вместе

Для решения задачи определим скорость работы каждого насоса: Обозначим: - \( x \) – время, за которое бассейн заполняет первый насос (в минутах). - \( y \) – время, за которое бассейн заполняет второй насос. - \( z \) – время, за которое бассейн заполняет третий насос. Скорость работы насосов: - Первый насос: \( \frac{1}{x} \) бассейна в минуту. - Второй насос: \( \frac{1}{y} \). - Третий насос: \( \frac{1}{z} \). Составим уравнения на основе условий задачи: 1. Первый и второй насосы заполняют бассейн за 21 минуту: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21} \] 2. Второй и третий насосы заполняют бассейн за 36 минут: \[ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{36} \] 3. Первый и третий насосы заполняют бассейн за 28 минут: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{28} \] Нужно найти: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \] Сложим все три уравнения: \[ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + (\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{21} + \frac{1}{36} + \frac{1}{28} \] Упростим: \[ 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{21} + \frac{1}{36} + \frac{1}{28} \] Найдем общий знаменатель для суммы: - НОК (21, 36, 28) = 252 Приведем дроби к общему знаменателю: - \(\frac{1}{21} = \frac{12}{252}\) - \(\frac{1}{36} = \frac{7}{252}\) - \(\frac{1}{28} = \frac{9}{252}\) Сложим дроби: \[ \frac{12}{252} + \frac{7}{252} + \frac{9}{252} = \frac{28}{252} = \frac{1}{9} \] Теперь: \[ 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{9} \] \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{18} \] Таким образом, три насоса вместе наполняют бассейн за 18 минут. Теперь перейдём ко второй части задачи: \[ 3 \frac{2}{5} + 4 \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{6} \right) \] 1. Преобразуем дроби в неправильные: \[ 3 \frac{2}{5} = \frac{17}{5}, \quad 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \] 2. Найдём разность дробей: \[ \frac{1}{18} - \frac{1}{6} = \frac{1}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9} \] 3. Умножим дробь: \[ \frac{9}{2} \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -\frac{1}{2} \] 4. Сложим всё вместе: \[ \frac{17}{5} - \frac{1}{2} \] 5. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{17}{5} = \frac{34}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \] 6. Найдём разность: \[ \frac{34}{10} - \frac{5}{10} = \frac{29}{10} = 2 \frac{9}{10} \] Ответ: \(2 \frac{9}{10}\).