Определите количество шестизначных семеричных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, а количество остальных чётных цифр чётно.

Для решения задачи начнем с понимания структуры шестизначного семеричного числа.

Шестизначное семеричное число

Семеричные числа – это числа, представленные в системе счисления с основанием 7, где допустимые цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Условия задачи

1. В числе ровно одна цифра 0
2. Количество оставшихся четных цифр (2, 4, 6) должно быть четным.

Шаг 1: Выбор позиции для 0

Поскольку число состоит из шестизначных цифр, 0 не может занимать первую позицию, иначе число станет пятизначным. Поэтому мы можем разместить 0 на 5 возможных позициях (второй, третий, четвертый, пятый или шестой).

Шаг 2: Распределение четных цифр

Четные цифры в семеричной системе – это 0, 2, 4 и 6. Мы уже поместили одну цифру 0, следовательно, на оставшиеся 5 позиций должны быть размещены четные цифры 2, 4 и 6, причем их количество должно быть четным.

Поскольку количество 0 уже одно, возможности размещения четных цифр будут следующими:

• 0 четных цифр: в этом случае все остальные 5 позиций занимают нечетные цифры (1, 3, 5).
• 2 четкие цифры: 2, 4 или 6 на 5 оставшихся позициях.
• 4 четкие цифры: 2, 4 или 6 на 1 оставшейся позиции.

Шаг 3: Считаем возможные варианты

1. 0 четных цифр:

   • 5 позиций могут быть заняты нечетными цифрами (1, 3, 5).
   • Количество вариантов: \(3^5\) (так как для каждой позиции можно выбрать любую нечетную цифру).

2. 2 четные цифры (всего 5 цифр с одним 0): Выберем 2 места для четных (из 5 оставшихся).

   • Комбинации выбора мест: \(C(5, 2)\)
   • Помещаем четные цифры: \(3^2\) (на каждое выбранное место можно поставить 2, 4 или 6).
   • Оставшиеся 3 места займут нечетные: \(3^3\).
   • Итого: \(C(5, 2) \cdot 3^2 \cdot 3^3\).

3. 4 четные цифры (всего 5 цифр с одним 0): Выбираем 4 места для четных (из 5 оставшихся).

   • Комбинации выбора мест: \(C(5, 4)\).
   • Помещаем четные цифры: \(3^4\).
   • Остальное место займет нечетная цифра: \(3^1\).
   • Итого: \(C(5, 4) \cdot 3^4 \cdot 3^1\).

Шаг 4: Общее количество

Теперь подведем итог.

• Для 0 четных цифр: \(3^5\).
• Для 2 четных цифр: \(C(5, 2) \cdot 3^5\).
• Для 4 четных цифр: \(C(5, 4) \cdot 3^5\).

Теперь подставить значения в счетчик:

• \(C(5, 2) = 10\)
• \(C(5, 4) = 5\)

Подсчет:

• 0 четных цифр: \(3^5 = 243\)
• 2 четных цифр: \(10 \cdot 3^5 = 10 \cdot 243 = 2430\)
• 4 четных цифр: \(5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215\)

Общее количество: \[ 243 + 2430 + 1215 = 3888 \]

Ответ

Количество шестизначных семеричных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, а количество остальных четных цифр четно, равно 3888.