Определите количество шестизначных семеричных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, а количество остальных чётных цифр чётно.

Для решения задачи начнем с понимания структуры шестизначного семеричного числа. ### Шестизначное семеричное число Семеричные числа – это числа, представленные в системе счисления с основанием 7, где допустимые цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. ### Условия задачи 1. В числе ровно одна цифра 0 2. Количество оставшихся четных цифр (2, 4, 6) должно быть четным. #### Шаг 1: Выбор позиции для 0 Поскольку число состоит из шестизначных цифр, 0 не может занимать первую позицию, иначе число станет пятизначным. Поэтому мы можем разместить 0 на 5 возможных позициях (второй, третий, четвертый, пятый или шестой). #### Шаг 2: Распределение четных цифр Четные цифры в семеричной системе – это 0, 2, 4 и 6. Мы уже поместили одну цифру 0, следовательно, на оставшиеся 5 позиций должны быть размещены четные цифры 2, 4 и 6, причем их количество должно быть четным. Поскольку количество 0 уже одно, возможности размещения четных цифр будут следующими: - 0 четных цифр: в этом случае все остальные 5 позиций занимают нечетные цифры (1, 3, 5). - 2 четкие цифры: 2, 4 или 6 на 5 оставшихся позициях. - 4 четкие цифры: 2, 4 или 6 на 1 оставшейся позиции. #### Шаг 3: Считаем возможные варианты 1. **0 четных цифр:** - 5 позиций могут быть заняты нечетными цифрами (1, 3, 5). - Количество вариантов: \(3^5\) (так как для каждой позиции можно выбрать любую нечетную цифру). 2. **2 четные цифры (всего 5 цифр с одним 0):** Выберем 2 места для четных (из 5 оставшихся). - Комбинации выбора мест: \(C(5, 2)\) - Помещаем четные цифры: \(3^2\) (на каждое выбранное место можно поставить 2, 4 или 6). - Оставшиеся 3 места займут нечетные: \(3^3\). - Итого: \(C(5, 2) \cdot 3^2 \cdot 3^3\). 3. **4 четные цифры (всего 5 цифр с одним 0):** Выбираем 4 места для четных (из 5 оставшихся). - Комбинации выбора мест: \(C(5, 4)\). - Помещаем четные цифры: \(3^4\). - Остальное место займет нечетная цифра: \(3^1\). - Итого: \(C(5, 4) \cdot 3^4 \cdot 3^1\). #### Шаг 4: Общее количество Теперь подведем итог. - Для 0 четных цифр: \(3^5\). - Для 2 четных цифр: \(C(5, 2) \cdot 3^5\). - Для 4 четных цифр: \(C(5, 4) \cdot 3^5\). Теперь подставить значения в счетчик: - \(C(5, 2) = 10\) - \(C(5, 4) = 5\) Подсчет: - 0 четных цифр: \(3^5 = 243\) - 2 четных цифр: \(10 \cdot 3^5 = 10 \cdot 243 = 2430\) - 4 четных цифр: \(5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215\) Общее количество: \[ 243 + 2430 + 1215 = 3888 \] ### Ответ Количество шестизначных семеричных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, а количество остальных четных цифр четно, равно **3888**.