Для решения этой задачи будем использовать основные формулы из области физики, связанные с движением, а также свойства прямолинейного равномерного движения. Разберем задачу по частям.
Дано:
- Расстояние между городами: 88 км
- Скорость Вани (мотоцикл): 30 км/ч
- Скорость Маши (велосипед): 12 км/ч
- Время остановки Вани: 20 минут (представим в часах: 20 минут = 20/60 = 1/3 часа)
a) Сколько километров проехала Маша, пока Ваня стоял?
Чтобы найти, сколько километров проехала Маша за время, пока Ваня был на остановке, нужно вычислить время ее движения за 20 минут.
Шаг 1: Вычислим расстояние, проехавшее Машу.
Сначала переведем время в часы:
[
t_{\text{остановка}} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ часа}
]
Теперь найдем расстояние, которое Маша проехала за это время. Учитывая, что скорость Маши составляет 12 км/ч, расстояние можно найти по формуле:
[
S = v \cdot t
]
где ( S ) — расстояние, ( v ) — скорость, ( t ) — время.
Подставим известные значения:
[
S_{\text{Маша}} = 12 , \text{км/ч} \cdot \frac{1}{3} , \text{ч} = 4 , \text{км}
]
Ответ на пункт a: Маша проехала 4 км, пока Ваня стоял.
b) Сколько всего километров до встречи с Ваней проехала Маша?
Теперь, для того чтобы найти общее расстояние, проеханное Машей до встречи с Ваней, учтем два этапа:
- Расстояние, проеханное Машей во время остановки Вани (4 км).
- Расстояние, проеханное Машей после того, как Ваня продолжил движение.
Шаг 2: Вычислим, сколько времени потребовалось Ване до встречи с Машей.
Теперь найдем общее время, через которое Ваня и Маша встретятся при наличии остановки Вани.
За это время Ваня проехал часть пути: пусть ( t ) — время в часах, которое Ваня проехал до встречи с Машей после остановки. Тогда общее время, прошедшее с момента начала движения до встречи будет:
[
t_{\text{всего}} = t + \frac{1}{3}
]
Расстояние, которое проедет Ваня до точки встречи, можно выразить как:
[
S_{\text{Ваня}} = 30 \cdot t
]
Расстояние, которое проедет Маша до встречи, равно:
[
S_{\text{Маша, всего}} = 12 \cdot (t + \frac{1}{3}) = 12t + 4
]
Так как сумма расстояний, проезжаемых Ваней и Машей равна 88 км, мы можем записать уравнение:
[
S_{\text{Ваня}} + S_{\text{Маша, всего}} = 88
]
Подставляем выражения для расстояний:
[
30t + (12t + 4) = 88
]
Соберем подобные:
[
42t + 4 = 88
]
Вычтем 4 из обеих сторон:
[
42t = 84
]
Теперь найдем ( t ):
[
t = \frac{84}{42} = 2 \text{ часа}
]
Шаг 3: Находим общее расстояние, проеханное Машей до встречи.
Теперь сможем подставить время ( t ) в формулу для общего расстояния, проеханного Машей:
[
S_{\text{Маша, всего}} = 12 \cdot (2 + \frac{1}{3}) = 12 \cdot \frac{7}{3} = 28 \text{ км}
]
Ответ на пункт b: Маша проехала всего 28 км до встречи с Ваней.
