Тип 7 i На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают только английский язык.

Для решения этой задачи мы воспользуемся принципом включения-исключения и нарисуем диаграмму Венна для удобства визуализации. Обозначим: - \( A \) — группа людей, знающих английский язык. - \( B \) — группа людей, знающих немецкий язык. - \( C \) — группа людей, знающих французский язык. Из условия задачи имеем следующие данные: - \( |A| = 10 \) (человек, знающих английский) - \( |B| = 7 \) (человек, знающих немецкий) - \( |C| = 6 \) (человек, знающих французский) - \( |A \cap B| = 5 \) (человек, знающих английский и немецкий) - \( |A \cap C| = 4 \) (человек, знающих английский и французский) - \( |B \cap C| = 3 \) (человек, знающих немецкий и французский) Теперь обозначим количество людей, знающих все три языка, как \( x \). Сначала мы можем записать количество людей, знающих хотя бы один язык: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Подставим известные значения: \[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + x \] \[ 13 = 23 - 12 + x \] \[ 13 = 11 + x \] \[ x = 2 \] Теперь у нас есть значение \( x = 2 \), что означает, что 2 человека знают все три языка. Теперь мы можем определить количество людей, знающих только каждый отдельный язык. Для этого используем следующие обозначения: - \( a \) — количество людей, знающих только английский язык - \( b \) — количество людей, знающих только немецкий язык - \( c \) — количество людей, знающих только французский язык Мы можем составить систему уравнений, основываясь на том, сколько людей знают тот или иной язык: 1. Для английского: \[ a + (5 - 2) + (4 - 2) + 2 = 10 \quad \text{(первое уравнение)} \] Это уравнение упрощается до: \[ a + 3 + 2 = 10 \Rightarrow a + 5 = 10 \Rightarrow a = 5 \] 2. Для немецкого: \[ b + (5 - 2) + (3 - 2) + 2 = 7 \quad \text{(второе уравнение)} \] Упрощаем: \[ b + 3 + 1 + 2 = 7 \Rightarrow b + 6 = 7 \Rightarrow b = 1 \] 3. Для французского: \[ c + (4 - 2) + (3 - 2) + 2 = 6 \quad \text{(третье уравнение)} \] Упрощаем: \[ c + 2 + 1 + 2 = 6 \Rightarrow c + 5 = 6 \Rightarrow c = 1 \] Теперь у нас есть значения: - \( a = 5 \) (человек, знающих только английский) - \( b = 1 \) (человек, знающих только немецкий) - \( c = 1 \) (человек, знающих только французский) Итак, **количество человек, знающих только английский язык, равно 5**.