Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения задачи используем систему уравнений. Обозначим скорость работы первого дизайнера как \( x \) (часы, необходимые для оформления учебника), а скорость работы второго дизайнера как \( y \).

Сначала преобразуем данную информацию в уравнения.

1. Скорость совместной работы двух дизайнеров: Если оба дизайнера работают вместе и завершают работу за 60 часов, то их скорости складываются. Получаем: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60} \]

2. Скорость работы по очереди: Если один дизайнер (пусть это будет первый) выполняет половину работы, а затем второй дизайнер завершает оставшуюся половину, работа займет 169 часов. Половина работы равна \(\frac{1}{2}\). Таким образом, временные затраты будут:

   • Первый дизайнер выполняет первую половину: \(\frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}\) часов.
   • Второй дизайнер выполняет вторую половину: \(\frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}\) часов.

   Общее время, затраченное на выполнение работы, будет равно: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 169 \] Умножим уравнение на 2: \[ x + y = 338 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60}\)
2. \(x + y = 338\)

Теперь решим систему уравнений. Начнем с первого уравнения и выразим \( y \) через \( x \): \[ y = 338 - x \]

Подставляем \( y \) во первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{338 - x} = \frac{1}{60} \]

Решим это уравнение. Умножим обе части на \( 60x(338 - x) \): \[ 60(338 - x) + 60x = x(338 - x) \] Распределим: \[ 20280 - 60x + 60x = 338x - x^2 \] Упрощаем уравнение: \[ 20280 = 338x - x^2 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 338x + 20280 = 0 \]

Теперь решаем квадратное уравнение с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -338 \), \( c = 20280 \): \[ x = \frac{338 \pm \sqrt{(-338)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20280}}{2 \cdot 1} \] Вычислим дискриминант: \[ (-338)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20280 = 114244 - 81120 = 33024 \]

Теперь вычислим корень: \[ \sqrt{33024} = 182 \]

Теперь подставим это значение в формулу для \( x \): \[ x = \frac{338 \pm 182}{2} \] Получаем два возможных значения:

1. \( x_1 = \frac{520}{2} = 260 \)
2. \( x_2 = \frac{156}{2} = 78 \)

Теперь найдем значения для \( y \):

1. Если \( x = 260 \), то \( y = 338 - 260 = 78 \).
2. Если \( x = 78 \), то \( y = 338 - 78 = 260 \).

Таким образом, дизайнеры могут оформлять учебник:

• Первый дизайнер может оформить учебник за 260 часов.
• Второй дизайнер может оформить учебник за 78 часов.

Итоговый ответ: первый дизайнер — 260 часов, второй дизайнер — 78 часов.