Для решения задачи используем систему уравнений. Обозначим скорость работы первого дизайнера как ( x ) (часы, необходимые для оформления учебника), а скорость работы второго дизайнера как ( y ).
Сначала преобразуем данную информацию в уравнения.
Скорость совместной работы двух дизайнеров:
Если оба дизайнера работают вместе и завершают работу за 60 часов, то их скорости складываются. Получаем:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60}
]
Скорость работы по очереди:
Если один дизайнер (пусть это будет первый) выполняет половину работы, а затем второй дизайнер завершает оставшуюся половину, работа займет 169 часов. Половина работы равна (\frac{1}{2}). Таким образом, временные затраты будут:
- Первый дизайнер выполняет первую половину: (\frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}) часов.
- Второй дизайнер выполняет вторую половину: (\frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}) часов.
Общее время, затраченное на выполнение работы, будет равно:
[
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 169
]
Умножим уравнение на 2:
[
x + y = 338
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60})
- (x + y = 338)
Теперь решим систему уравнений. Начнем с первого уравнения и выразим ( y ) через ( x ):
[
y = 338 - x
]
Подставляем ( y ) во первое уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{338 - x} = \frac{1}{60}
]
Решим это уравнение. Умножим обе части на ( 60x(338 - x) ):
[
60(338 - x) + 60x = x(338 - x)
]
Распределим:
[
20280 - 60x + 60x = 338x - x^2
]
Упрощаем уравнение:
[
20280 = 338x - x^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
x^2 - 338x + 20280 = 0
]
Теперь решаем квадратное уравнение с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -338 ), ( c = 20280 ):
[
x = \frac{338 \pm \sqrt{(-338)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20280}}{2 \cdot 1}
]
Вычислим дискриминант:
[
(-338)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20280 = 114244 - 81120 = 33024
]
Теперь вычислим корень:
[
\sqrt{33024} = 182
]
Теперь подставим это значение в формулу для ( x ):
[
x = \frac{338 \pm 182}{2}
]
Получаем два возможных значения:
- ( x_1 = \frac{520}{2} = 260 )
- ( x_2 = \frac{156}{2} = 78 )
Теперь найдем значения для ( y ):
- Если ( x = 260 ), то ( y = 338 - 260 = 78 ).
- Если ( x = 78 ), то ( y = 338 - 78 = 260 ).
Таким образом, дизайнеры могут оформлять учебник:
- Первый дизайнер может оформить учебник за 260 часов.
- Второй дизайнер может оформить учебник за 78 часов.
Итоговый ответ: первый дизайнер — 260 часов, второй дизайнер — 78 часов.
