Реши x • log4 (5 - 3x - x^2) ≥ 0
Чтобы решить неравенство \( x \cdot \log_4(5 - 3x - x^2) \geq 0 \), начнем с анализа каждого множителя:
Определим, при каких значениях x логарифм определен: Неравенство \( 5 - 3x - x^2 > 0 \) должно выполняться, чтобы логарифм был определен.
Мы можем записать это неравенство как: \[ -x^2 - 3x + 5 > 0 \]
Для нахождения корней, решим квадратное уравнение \( -x^2 - 3x + 5 = 0 \): \[ x^2 + 3x - 5 = 0 \] Используем формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} \]
Обозначим корни как \( x_1 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2} \) и \( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \). Мы будем решать неравенство \( 5 - 3x - x^2 > 0 \) между корнями.
Значения между корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) будут давать положительное значение для \( 5 - 3x - x^2 \).
Рассмотрим обстоятельство знака x: Неравенство \( x \geq 0 \) также должно выполняться для того, чтобы \( x \cdot \log_4(5 - 3x - x^2) \) было неотрицательным.
Исследуем оба условия: Теперь проверим, при каких \( x \) оба условия выполняются вместе:
- Условие 1: \( x_1 < x < x_2 \)
- Условие 2: \( x \geq 0 \)
Так как \( x_1 \) и \( x_2 \) - это два значения, нам нужно проверить где они находятся относительно нуля:
- Если \( x_2 > 0 \), то решение будет \( 0 \leq x < x_2 \).
- Если \( x_2 < 0 \), то решения не будет.
Посчитаем значение \( x_2 \): \[ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{-3 + 5.385}{2} \approx 1.1925 > 0 \]
Финальное неравенство: Мы можем суммировать решения:
- \( 0 \leq x < x_2 \) с учетом логарифма.
Таким образом, окончательное решение: \[ [0, x_2) \] или \[ [0, \frac{-3 + \sqrt{29}}{2}). \]
