Что вероятнее выиграть у равносильного партнера 3 партии из 5 или 4 из 6

Чтобы решить задачу, давайте определим, какова вероятность выиграть заданное количество игр у равносильного партнера. Предположим, что каждый игрок имеет равные шансы на победу в каждой партии, то есть вероятность выиграть одну партию составляет \( p = 0.5 \). ### Вероятность выигрыша n партий из m Вероятность выиграть \( k \) партий из \( n \) можно вычислить с помощью биномиального распределения. Формула для расчета вероятности выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где - \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — binominal coefficient (количество способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \)), - \( n \) — общее количество партий, - \( k \) — количество выигранных партий, - \( p \) — вероятность выигрыша в одной партии. ### Сравнение вероятностей Теперь вычислим вероятность выигрыша 3 из 5 партий и 4 из 6 партий. #### 1. Вероятность выиграть 3 из 5 партий: Используем нашу формулу: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} \] Сначала вычислим \( C(5, 3) \): \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \] #### 2. Вероятность выиграть 4 из 6 партий: Используем ту же формулу: \[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{6-4} \] Сначала вычислим \( C(6, 4) \): \[ C(6, 4) = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^2 = 15 \cdot (0.5)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \] ### Сравнение вероятностей Теперь у нас есть две вероятности: - Вероятность выиграть 3 из 5: \( \frac{5}{16} = 0.3125 \) - Вероятность выиграть 4 из 6: \( \frac{15}{64} \approx 0.234375 \) ### Заключение Вероятность выиграть 3 из 5 партий выше, чем вероятность выиграть 4 из 6. Таким образом, выигрывать 3 из 5 партий вероятнее, чем 4 из 6.