что вероятнее выиграть у равносильного партнера 3 партии из 5 или 4 из 6

Чтобы решить задачу, давайте определим, какова вероятность выиграть заданное количество игр у равносильного партнера. Предположим, что каждый игрок имеет равные шансы на победу в каждой партии, то есть вероятность выиграть одну партию составляет \( p = 0.5 \).

Вероятность выигрыша n партий из m

Вероятность выиграть \( k \) партий из \( n \) можно вычислить с помощью биномиального распределения. Формула для расчета вероятности выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где

• \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — binominal coefficient (количество способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \)),
• \( n \) — общее количество партий,
• \( k \) — количество выигранных партий,
• \( p \) — вероятность выигрыша в одной партии.

Сравнение вероятностей

Теперь вычислим вероятность выигрыша 3 из 5 партий и 4 из 6 партий.

1. Вероятность выиграть 3 из 5 партий:

Используем нашу формулу:

\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} \]

Сначала вычислим \( C(5, 3) \):

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

2. Вероятность выиграть 4 из 6 партий:

Используем ту же формулу:

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{6-4} \]

Сначала вычислим \( C(6, 4) \):

\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^2 = 15 \cdot (0.5)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \]

Сравнение вероятностей

Теперь у нас есть две вероятности:

• Вероятность выиграть 3 из 5: \( \frac{5}{16} = 0.3125 \)
• Вероятность выиграть 4 из 6: \( \frac{15}{64} \approx 0.234375 \)

Заключение

Вероятность выиграть 3 из 5 партий выше, чем вероятность выиграть 4 из 6. Таким образом, выигрывать 3 из 5 партий вероятнее, чем 4 из 6.