Реши

Конечно, давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1

Найдите значение выражения \( \frac{3}{5} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{15}{4} \).

Решение:

1. Умножим числители: \[ 3 \cdot 9 \cdot 15 = 405 \]

2. Умножим знаменатели: \[ 5 \cdot 16 \cdot 4 = 320 \]

3. Получим дробь: \[ \frac{405}{320} \]

4. Сократим дробь. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для 405 и 320 НОД = 5.

5. Разделим обе части дроби на 5: \[ \frac{405 \div 5}{320 \div 5} = \frac{81}{64} \]

Таким образом, значение выражения равно \( \frac{81}{64} \).

Задача 2

Решите уравнение \( x + 2x^2 = 15 \).

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \[ 2x^2 + x - 15 = 0 \]

2. Найдем корни квадратного уравнения, используя дискриминант: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = -15 \] \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 \]

3. Поскольку дискриминант положительный, найдем два корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ x_1 = \frac{-1 + 11}{4} = 2.5, \quad x_2 = \frac{-1 - 11}{4} = -3 \]

Таким образом, решения уравнения: \( x = 2.5 \) и \( x = -3 \).

Задача 3

В цветнике растут только ирисы и пионы. Ирисы составляют две пятых всех растений цветника, а пионов растет 30 штук. Сколько всего растений в цветнике?

Решение:

1. Пусть общее количество растений в цветнике равно \( x \).

2. Известно, что \( \frac{2}{5} \) всех растений — это ирисы. В этом случае количество ирисов будет равно \( \frac{2}{5}x \).

3. Остальная часть — пионы, и их количество равна 30. Таким образом, у нас получится: \[ x - \frac{2}{5}x = 30 \]

4. Решим уравнение: \[ \frac{3}{5}x = 30 \]

5. Найдем \( x \): \[ x = 30 \div \frac{3}{5} = 30 \cdot \frac{5}{3} = 50 \]

Таким образом, всего в цветнике 50 растений.

Задача 4

На координатной прямой отметьте числа 0 и 1. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число \( x \) так, чтобы при этом выполнялись три условия: \( x < \frac{1}{2} \), \( x \in \mathbb{Q}\), \( x > 0 \).

Решение:

1. Нас просят найти рациональное число \( x \), которое лежит между 0 и 1 и меньше \( \frac{1}{2} \).

2. Примером такого числа может быть \( x = \frac{1}{4} \).

Таким образом, \( x = \frac{1}{4} \) удовлетворяет всем условиям.

Задача 5

Найдите координаты точки пересечения прямой \( y = \frac{7}{9}x + 11 \) с осью \( Ox \).

Решение:

1. Точка пересечения с осью \( Ox \) имеет координаты \( (x, 0) \).

2. Подставим \( y = 0 \) в уравнение: \[ 0 = \frac{7}{9}x + 11 \]

3. Решим уравнение относительно \( x \): \[ \frac{7}{9}x = -11 \] \[ x = -11 \cdot \frac{9}{7} = -\frac{99}{7} \]

Таким образом, координаты точки пересечения: \( \left(-\frac{99}{7}, 0\right) \).