Давайте решим все задачи по очереди. Начнем с первой группы заданий – представления многочленов и разложения на множители.
1. Представьте в виде многочлена:
1) ((3 + 4a) ^ 2)
Чтобы разложить это выражение, воспользуемся формулой квадрат суммы:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
где (a = 3) и (b = 4a).
Раскроем скобки:
[
(3 + 4a)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4a + (4a)^2
]
Теперь посчитаем каждую часть:
- (3^2 = 9)
- (2 \cdot 3 \cdot 4a = 24a)
- ((4a)^2 = 16a^2)
Теперь сложим все части:
[
(3 + 4a)^2 = 9 + 24a + 16a^2
]
2) ((2a^5b)^2)
Здесь нужно возвести в квадрат каждую часть:
[
(2a^5b)^2 = (2)^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (b)^2 = 4a^{10}b^2
]
3) ((7a - 8)(7a + 8))
Это выражение имеет вид разности квадратов:
[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
]
где (a = 7a) и (b = 8).
Раскроем:
[
(7a - 8)(7a + 8) = (7a)^2 - 8^2 = 49a^2 - 64
]
4) ((6n + 5m)(5m - 6n))
Мы раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство:
[
(6n + 5m)(5m - 6n) = 6n \cdot 5m + 6n \cdot (-6n) + 5m \cdot 5m + 5m \cdot (-6n)
]
Теперь посчитаем каждую из частей:
[
= 30mn - 36n^2 + 25m^2 - 30mn
]
Сложим все вместе:
[
= -36n^2 + 25m^2
]
2. Разложите на множители:
1) (4 - x^2)
Это разность квадратов, которую можно разложить так:
[
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
]
2) (9x^2 + 64y^6)
Здесь можно выделить общий множитель:
[
9x^2 + 64y^6 = (3x)^2 + (8y^3)^2
]
Поскольку это сумма квадратов, разложить это на множители невозможно в широком смысле, т.к. суммы квадратов не разлагаются.
3) (16a^2 + 24a + 9)
Для разложения используем способ поиска корней. Это треугольное уравнение:
[
16a^2 + 24a + 9 = (4a + 3)^2
]
4) (4x^{10}y^3 + 6.25y^6)
Здесь также выделим общий множитель:
[
4x^{10}y^3 + 6.25y^6 = y^3(4x^{10} + 6.25y^3)
]
Но (4x^{10} + 6.25y^3) разложить не получится.
5) ((12 - 5a)^2 - (3a + 8)^2)
Это разность квадратов:
[
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
]
где (A = 12 - 5a) и (B = 3a + 8).
[
= ((12 - 5a) - (3a + 8))((12 - 5a) + (3a + 8)) = (12 - 5a - 3a - 8)(12 - 5a + 3a + 8)
]
[
= (4 - 8a)(20 - 2a)
]
3. Упростите выражение ((x - 2)^2 - (x - 3)(x + 3)) и найдите значение при (x = 0.75)
- Сначала раскроем скобки:
((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4)
((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9)
Теперь подставим обратно в ( (x - 2)^2 - (x - 3)(x + 3)):
[
= (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 9)
]
Упростим:
[
= x^2 - 4x + 4 - x^2 + 9 = -4x + 13
]
Теперь подставим (x = 0.75):
[
= -4(0.75) + 13 = -3 + 13 = 10
]
4. Решите уравнение:
((3x - 2)^2 - 9(x + 2)(x - 2) = 8(x - 2))
Сначала раскроем каждую часть:
((3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4)
((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4)
Заменим в уравнении:
[
9x^2 - 12x + 4 - 9(x^2 - 4) = 8(x - 2)
]
Упрощаем:
[
9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 + 36 = 8x - 16
]
Собираем все вместе:
[
-12x + 40 = 8x - 16]
[
40 + 16 = 8x + 12x
]
[
56 = 20x => x = \frac{56}{20} = 2.8
]
5. Докажите, что выражение
(x^2 - 4x + 8) принимает положительные значения при всех значениях (x).
Чтобы доказать, что это выражение всегда положительно, найдем его дискриминант (D):
(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16)
Поскольку дискриминант меньше нуля, у уравнения нет действительных корней, значит, оно не пересекает ось (x) и, учитывая, что коэффициент при (x^2) положительный, следовательно, выражение всегда положительно.
Эти объяснения соответствуют уровню 7 класса и помогут вам лучше понять каждый шаг. Если нужны дополнительные разъяснения или примеры, дайте знать!
