1. Представьте в виде многочлена: 1) (3 + 4a) ^ 2 2) (2a5b)²; 3) (7a - 8)(7a + 8) 4) (6n + 5m)(5m - 6n) 2. Разложите на множители: 1) 4-x²; 2) 9x20,64y6; 3) 16a ^ 2 + 24a + 9 4)…
1. Представьте в виде многочлена: 1) (3 + 4a) ^ 2 2) (2a5b)²; 3) (7a - 8)(7a + 8) 4) (6n + 5m)(5m - 6n) 2. Разложите на множители: 1) 4-x²; 2) 9x20,64y6; 3) 16a ^ 2 + 24a + 9 4) 4x1010x5y3 + 6,25y6; 5) (12 - 5a) ^ 2 - (3a + 8) ^ 2 3. Упростите выражение (x - 2) ^ 2 - (x - 3)(x + 3) и найдите его значение при x = 0, 75 4. Решите уравнение: (3x - 2) ^ 2 - 9(x + 2)(x - 2) = 8(x - 2) 5. Докажите, что выражение x ^ 2 - 4x + 8 принимает положительные значения при всех значениях х.
Давайте решим все задачи по очереди. Начнем с первой группы заданий – представления многочленов и разложения на множители.
1. Представьте в виде многочлена:
1) \((3 + 4a) ^ 2\)
Чтобы разложить это выражение, воспользуемся формулой квадрат суммы:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
где \(a = 3\) и \(b = 4a\).
Раскроем скобки:
\[ (3 + 4a)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4a + (4a)^2 \]
Теперь посчитаем каждую часть:
- \(3^2 = 9\)
- \(2 \cdot 3 \cdot 4a = 24a\)
- \((4a)^2 = 16a^2\)
Теперь сложим все части:
\[ (3 + 4a)^2 = 9 + 24a + 16a^2 \]
2) \((2a^5b)^2\)
Здесь нужно возвести в квадрат каждую часть:
\[ (2a^5b)^2 = (2)^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (b)^2 = 4a^{10}b^2 \]
3) \((7a - 8)(7a + 8)\)
Это выражение имеет вид разности квадратов:
\[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]
где \(a = 7a\) и \(b = 8\).
Раскроем:
\[ (7a - 8)(7a + 8) = (7a)^2 - 8^2 = 49a^2 - 64 \]
4) \((6n + 5m)(5m - 6n)\)
Мы раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство:
\[ (6n + 5m)(5m - 6n) = 6n \cdot 5m + 6n \cdot (-6n) + 5m \cdot 5m + 5m \cdot (-6n) \]
Теперь посчитаем каждую из частей:
\[ = 30mn - 36n^2 + 25m^2 - 30mn \]
Сложим все вместе:
\[ = -36n^2 + 25m^2 \]
2. Разложите на множители:
1) \(4 - x^2\)
Это разность квадратов, которую можно разложить так:
\[ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \]
2) \(9x^2 + 64y^6\)
Здесь можно выделить общий множитель:
\[ 9x^2 + 64y^6 = (3x)^2 + (8y^3)^2 \]
Поскольку это сумма квадратов, разложить это на множители невозможно в широком смысле, т.к. суммы квадратов не разлагаются.
3) \(16a^2 + 24a + 9\)
Для разложения используем способ поиска корней. Это треугольное уравнение:
\[ 16a^2 + 24a + 9 = (4a + 3)^2 \]
4) \(4x^{10}y^3 + 6.25y^6\)
Здесь также выделим общий множитель:
\[ 4x^{10}y^3 + 6.25y^6 = y^3(4x^{10} + 6.25y^3) \]
Но \(4x^{10} + 6.25y^3\) разложить не получится.
5) \((12 - 5a)^2 - (3a + 8)^2\)
Это разность квадратов:
\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]
где \(A = 12 - 5a\) и \(B = 3a + 8\).
\[ = ((12 - 5a) - (3a + 8))((12 - 5a) + (3a + 8)) = (12 - 5a - 3a - 8)(12 - 5a + 3a + 8) \] \[ = (4 - 8a)(20 - 2a) \]
3. Упростите выражение \((x - 2)^2 - (x - 3)(x + 3)\) и найдите значение при \(x = 0.75\)
- Сначала раскроем скобки:
\((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\)
\((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\)
Теперь подставим обратно в \( (x - 2)^2 - (x - 3)(x + 3)\):
\[ = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 9) \] Упростим:
\[ = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 9 = -4x + 13 \]
Теперь подставим \(x = 0.75\):
\[ = -4(0.75) + 13 = -3 + 13 = 10 \]
4. Решите уравнение:
\((3x - 2)^2 - 9(x + 2)(x - 2) = 8(x - 2)\)
Сначала раскроем каждую часть:
\((3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\) \((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\) Заменим в уравнении:
\[ 9x^2 - 12x + 4 - 9(x^2 - 4) = 8(x - 2) \] Упрощаем:
\[ 9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 + 36 = 8x - 16 \] Собираем все вместе:
\[ -12x + 40 = 8x - 16\] \[ 40 + 16 = 8x + 12x \] \[ 56 = 20x => x = \frac{56}{20} = 2.8 \]
5. Докажите, что выражение
\(x^2 - 4x + 8\) принимает положительные значения при всех значениях \(x\).
Чтобы доказать, что это выражение всегда положительно, найдем его дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16\)
Поскольку дискриминант меньше нуля, у уравнения нет действительных корней, значит, оно не пересекает ось \(x\) и, учитывая, что коэффициент при \(x^2\) положительный, следовательно, выражение всегда положительно.
Эти объяснения соответствуют уровню 7 класса и помогут вам лучше понять каждый шаг. Если нужны дополнительные разъяснения или примеры, дайте знать!
