Cos(a+п/4),если cosa=-3/5 и п

Давайте решим задачу, где необходимо найти значение \(\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\), если \(\cos a = -\frac{3}{5}\) и угол \(a\) находится в диапазоне \(\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)\). ### Шаг 1: Найдем значение \(\sin a\). Мы знаем значение \(\cos a\), и можем использовать основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим \(\cos a = -\frac{3}{5}\): \[ \sin^2 a + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \] Переносим \(\frac{9}{25}\) на правую сторону: \[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Теперь извлечем корень, не забывая учитывать, что угол \(a\) находится в третьем квадранте, где синус отрицателен: \[ \sin a = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] ### Шаг 2: Используем формулу суммы углов. Теперь мы можем использовать формулу для \(\cos\) суммы углов: \[ \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \] В нашем случае \(b = \frac{\pi}{4}\): \[ \cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{\pi}{4} - \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{4} \] Знаем, что: \[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Подставим значения \(\cos a\) и \(\sin a\): \[ \cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ = -\frac{3\sqrt{2}}{10} + \frac{4\sqrt{2}}{10} \] Объединим дроби: \[ = \frac{(-3 + 4)\sqrt{2}}{10} = \frac{1\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10} \] ### Ответ Таким образом, значение \(\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\) равно \[ \frac{\sqrt{2}}{10}. \]