cos(a+п/4),если cosa=-3/5 и п<a<3п/2

Давайте решим задачу, где необходимо найти значение \(\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\), если \(\cos a = -\frac{3}{5}\) и угол \(a\) находится в диапазоне \(\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)\).

Шаг 1: Найдем значение \(\sin a\).

Мы знаем значение \(\cos a\), и можем использовать основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим \(\cos a = -\frac{3}{5}\):

\[ \sin^2 a + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \]

Переносим \(\frac{9}{25}\) на правую сторону:

\[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

Теперь извлечем корень, не забывая учитывать, что угол \(a\) находится в третьем квадранте, где синус отрицателен:

\[ \sin a = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \]

Шаг 2: Используем формулу суммы углов.

Теперь мы можем использовать формулу для \(\cos\) суммы углов:

\[ \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \]

В нашем случае \(b = \frac{\pi}{4}\):

\[ \cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{\pi}{4} - \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{4} \]

Знаем, что:

\[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставим значения \(\cos a\) и \(\sin a\):

\[ \cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ = -\frac{3\sqrt{2}}{10} + \frac{4\sqrt{2}}{10} \]

Объединим дроби:

\[ = \frac{(-3 + 4)\sqrt{2}}{10} = \frac{1\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10} \]

Ответ

Таким образом, значение \(\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\) равно

\[ \frac{\sqrt{2}}{10}. \]