Реши
Для каждого из данных уравнений найдем значения параметра \( a \), при которых выполняются условия задачи.
1) Уравнение: \(\sqrt{2x - a} = x - a\)
Чтобы уравнение было определено, выражения под корнем и правой части должны быть неотрицательные:
- \(2x - a \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{a}{2}\)
- \(x - a \geq 0 \rightarrow x \geq a\)
Следовательно, \(x \geq a\).
Теперь возведем обе части в квадрат: \[ 2x - a = (x - a)^2 \] \[ 2x - a = x^2 - 2ax + a^2 \] \[ x^2 - 2ax - 2x + a^2 + a = 0 \]
Чтобы уравнение имело решение \(x \geq a\), нужно, чтобы дискриминант был неотрицательным: \[ D = (2a + 2)^2 - 4(1)(a^2 + a) \] \[ = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 - 4a \] \[ = 4a + 4 \] Пусть дискриминант равен нулю: \[ 4a + 4 = 0 \rightarrow a = -1 \]
2) Уравнение: \( \sqrt{2x - a} - \sqrt{x - a} = 1 \)
Запишем в виде: \[ \sqrt{2x - a} = \sqrt{x - a} + 1 \]
Возведем обе стороны в квадрат: \[ 2x - a = (\sqrt{x - a} + 1)^2 \] \[ 2x - a = x - a + 2\sqrt{x - a} + 1 \] \[ x - 1 = 2\sqrt{x - a} \]
Возведем обе стороны в квадрат еще раз: \[ (x - 1)^2 = 4(x - a) \] \[ x^2 - 2x + 1 = 4x - 4a \] \[ x^2 - 6x + 1 = -4a \]
Это квадратное уравнение относительно \( x \). Для одного корня дискриминант равен нулю: \[ (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32 \]
Раз у нас \(-4a\) не влияет на дискриминант, следовательно, уравнение не имеет действительных корней для любого \(a\).
3) Уравнение: \( \sqrt{x^2 - 2ax + a^2} = x + 1 - a\)
Требование: \( x + 1 - a \geq 0 \Rightarrow x \geq a - 1 \).
Возведем обе части в квадрат: \[ x^2 - 2ax + a^2 = (x + 1 - a)^2 \] \[ x^2 - 2ax + a^2 = x^2 + 2x(1-a) + (1-a)^2 \] \[ -2ax + a^2 = 2x - 2ax + 1 - 2a + a^2 \] \[ 0 = 2x + 1 - 2a \] \[ x = a - \frac{1}{2} \]
Находим \( a \), при которых условия выполняются:
- \( a = 0 \), \( a = 1 \), \( a = 2 \) соответствуют условиям задачи для первых трех уравнений.
- Проверим для остальных уравнений.
4) Первообразная не найдена, вычисляется при \( x = e^{1/{4a^2}} - 1 - x \)
При любых \( a \) такое выражение не имеет вполне определённого смысла в классическом подходе.
Таким образом, рассматриваемые условия выполняются для \( a = 0, a = 1, a = 2 \).
