x+y=5 xy=6

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( x + y = 5 \)
2. \( xy = 6 \)

Мы воспользуемся методом подстановки и свойствами квадратного уравнения.

Шаг 1: Изолируем одну переменную

Из первого уравнения можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим \( y \):

\[ y = 5 - x \]

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение

Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:

\[ x(5 - x) = 6 \]

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Раскроем скобки:

\[ 5x - x^2 = 6 \]

Теперь переносим все на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \]

Умножим все уравнение на \(-1\) для удобства:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

Где:

• \( a = 1 \)
• \( b = -5 \)
• \( c = 6 \)

Подставляем значения:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два разных корня.

Шаг 5: Находим корни

Используем формулу для нахождения корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

Находим два возможных значения \( x \):

1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \)

Шаг 6: Находим соответствующее значение \( y \)

Теперь, используя найденные значения \( x \), находим соответствующие значения \( y \) через первичное уравнение:

1. Если \( x = 3 \): \[ y = 5 - 3 = 2 \]

2. Если \( x = 2 \): \[ y = 5 - 2 = 3 \]

Шаг 7: Итоговые результаты

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

• \( (x, y) = (3, 2) \)
• \( (x, y) = (2, 3) \)

Эти пары \((x, y)\) можно проверить, подставив их в оба уравнения.

1. \( 3 + 2 = 5 \) и \( 3 \cdot 2 = 6 \)
2. \( 2 + 3 = 5 \) и \( 2 \cdot 3 = 6 \)

Обе пары удовлетворяют условиям системы.