Вероятность попадания в цель при 1 выстреле составляет 0, 8, найдите вероятность 3 попаданий при 4 выстрелах.
Для решения задачи о вероятности попадания в цель рассмотрим процесс, который включает использование биномиального распределения.
Параметры задачи:
- Вероятность попадания в цель \( p = 0,8 \)
- Количество выстрелов (испытаний) \( n = 4 \)
- Количество успешных попаданий \( k = 3 \)
Пошаговое решение:
Формула биномиального распределения: Вероятность удачного исхода в \( k \) попытках из \( n \) определяется по формуле: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где:
- \( \binom{n}{k} \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- \( p^k \) — вероятность \( k \) успешных выстрелов,
- \( (1-p)^{n-k} \) — вероятность \( n-k \) неудачных выстрелов.
Подстановка значений: Нам нужно найти \( P(X = 3) \):
- \( n = 4 \)
- \( k = 3 \)
- \( p = 0,8 \)
- \( 1-p = 0,2 \)
Сначала рассчитаем сочетания \( \binom{4}{3} \): \[ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4 \]
Подставим все значения в формулу: \[ P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 (1-p)^{4-3} \] \[ P(X = 3) = 4 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^1 \]
Выполним вычисления:
- Сначала найдем \( (0,8)^3 \): \[ (0,8)^3 = 0,512 \]
- Следом найдем \( (0,2)^1 \): \[ (0,2)^1 = 0,2 \]
- Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 3) = 4 \cdot 0,512 \cdot 0,2 \]
Умножим: \[ 4 \cdot 0,512 = 2,048 \] \[ 2,048 \cdot 0,2 = 0,4096 \]
Ответ:
Итак, вероятность 3 попаданий при 4 выстрелах составляет \( 0,4096 \) или \( 40,96\% \).
