Вероятность попадания в цель при 1 выстреле составляет 0, 8, найдите вероятность 3 попаданий при 4 выстрелах.

Для решения задачи о вероятности попадания в цель рассмотрим процесс, который включает использование биномиального распределения. ### Параметры задачи: - Вероятность попадания в цель \( p = 0,8 \) - Количество выстрелов (испытаний) \( n = 4 \) - Количество успешных попаданий \( k = 3 \) ### Пошаговое решение: 1. **Формула биномиального распределения:** Вероятность удачного исхода в \( k \) попытках из \( n \) определяется по формуле: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где: - \( \binom{n}{k} \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] - \( p^k \) — вероятность \( k \) успешных выстрелов, - \( (1-p)^{n-k} \) — вероятность \( n-k \) неудачных выстрелов. 2. **Подстановка значений:** Нам нужно найти \( P(X = 3) \): - \( n = 4 \) - \( k = 3 \) - \( p = 0,8 \) - \( 1-p = 0,2 \) Сначала рассчитаем сочетания \( \binom{4}{3} \): \[ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4 \] 3. **Подставим все значения в формулу:** \[ P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 (1-p)^{4-3} \] \[ P(X = 3) = 4 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^1 \] 4. **Выполним вычисления:** - Сначала найдем \( (0,8)^3 \): \[ (0,8)^3 = 0,512 \] - Следом найдем \( (0,2)^1 \): \[ (0,2)^1 = 0,2 \] - Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 3) = 4 \cdot 0,512 \cdot 0,2 \] 5. **Умножим:** \[ 4 \cdot 0,512 = 2,048 \] \[ 2,048 \cdot 0,2 = 0,4096 \] ### Ответ: Итак, вероятность 3 попаданий при 4 выстрелах составляет \( 0,4096 \) или \( 40,96\% \).