Решите систему уравнений графическим методом
Для решения системы уравнений графическим методом, нужно начертить графики обоих уравнений на одной координатной плоскости и определить точку их пересечения. Давайте решим:
Система уравнений:
- \(3(x + y) - 2x = 3 + 2y\)
- \(-2(y + 2x) = -3x - 5\)
Преобразование уравнений
Первое уравнение:
\[3(x + y) - 2x = 3 + 2y\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\[3x + 3y - 2x = 3 + 2y\]
\[x + 3y = 3 + 2y\]
Перенесём все слагаемые с \(y\) в одну сторону:
\[x + 3y - 2y = 3\]
\[x + y = 3\]
Это уравнение прямой, где \(y = 3 - x\).
Второе уравнение:
\(-2(y + 2x) = -3x - 5\)
Раскроем скобки:
\(-2y - 4x = -3x - 5\)
Приведём подобные слагаемые и перенесём все слагаемые в одну сторону:
\(-2y - 4x + 3x = -5\)
\(-2y - x = -5\)
Избавимся от минусов:
\[2y + x = 5\]
Это уравнение прямой, где \(y = \frac{5 - x}{2}\).
Построение графиков
Первая прямая: \(y = 3 - x\)
- Для \(x = 0\), \(y = 3\) (точка пересечения с осью Y).
- Для \(y = 0\), \(x = 3\) (точка пересечения с осью X).
Вторая прямая: \(y = \frac{5 - x}{2}\)
- Для \(x = 0\), \(y = \frac{5}{2} = 2.5\) (точка пересечения с осью Y).
- Для \(y = 0\), \(x = 5\) (точка пересечения с осью X).
Определение точки пересечения
Графически точки пересечения первой и второй прямой находятся при решении:
- \(y = 3 - x\)
- \(y = \frac{5 - x}{2}\)
Равенство \(3 - x = \frac{5 - x}{2}\).
Решим уравнение:
\[2(3 - x) = 5 - x\]
\[6 - 2x = 5 - x\]
Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону:
\[6 - 5 = 2x - x\]
\[1 = x\]
Подставляем \(x = 1\) в любое из уравнений, например, \(y = 3 - x\):
\[y = 3 - 1 = 2\]
Ответ
Точка пересечения графиков, а значит, решение системы уравнений: \(x = 1\), \(y = 2\).
Точка \((1, 2)\) является решением данной системы уравнений.
