H — точка пересечения биссектрис  S N SN и  M Q MQ треугольника  S T M STM. Определи градусную меру угла  S T H STH, если  ∠ H S M = 24 ° ∠HSM=24°, а  ∠ S M H = 31 ° ∠SMH=31°.

Чтобы найти градусную меру угла \( \angle STH \) в треугольнике \( STM \), где \( H \) является точкой пересечения биссектрис \( SN \) и \( MQ \), давайте пройдем по шагам. 1. **Запишем известные углы:** - \( \angle HSM = 24^\circ \) - \( \angle SMH = 31^\circ \) 2. **Выразим третий угол в треугольнике \( HSM \):** В любом треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \). Определим угол \( \angle HMS \): \[ \angle HSM + \angle SMH + \angle HMS = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ 24^\circ + 31^\circ + \angle HMS = 180^\circ \] Решим это уравнение: \[ \angle HMS = 180^\circ - 24^\circ - 31^\circ \] \[ \angle HMS = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \] 3. **Теперь найдем угол \( \angle STH \):** Угол \( \angle STH \) противолежит углу \( \angle HSM \) в треугольнике \( STM \), у которого \( H \) является точкой пересечения биссектрис. Из свойства биссектрисы известно, что \( \angle STH \) равен сумме углов, противолежащих каждой из сторон: \[ \angle STH = \frac{1}{2}(\angle HSM + \angle HMS) \] Подставим найденные значения: \[ \angle STH = \frac{1}{2}(24^\circ + 125^\circ) \] \[ \angle STH = \frac{1}{2} \cdot 149^\circ = 74.5^\circ \] Таким образом, градусная мера угла \( \angle STH \) составляет \( 74.5^\circ \).