Чтобы решить задачу, воспользуемся теорией вероятностей и формулой полной вероятности, а также условной вероятностью. Давайте обозначим события:
- ( R ): озимая рожь успешно переносит зиму.
- ( P ): озимая пшеница успешно переносит зиму.
Согласно условию, имеем следующие данные:
Вероятность того, что озимая рожь успешно перенесет зиму:
[
P(R) = \frac{9}{10}
]
Если озимая рожь успешно перезимует (событие ( R )), то вероятность того, что озимая пшеница тоже успешно перезимует:
[
P(P | R) = \frac{13}{15}
]
Если озимая рожь не успевает перенести зиму (событие ( R' )), то вероятность того, что придется пересеивать и озимую пшеницу (событие ( P' )):
[
P(P' | R') = \frac{4}{5}
]
Следовательно, вероятность того, что озимая пшеница успешно перезимует в случае, если рожь не смогла это сделать, равна:
[
P(P | R') = 1 - P(P' | R') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
]
Теперь можем найти общую вероятность того, что обе культуры успешно перезимуют, используя формулу полной вероятности. Она записывается так:
[
P(P) = P(P | R) \cdot P(R) + P(P | R') \cdot P(R')
]
Где ( P(R') = 1 - P(R) ):
[
P(R') = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}
]
Теперь подставим известные нам вероятности в формулу:
[
P(P) = P(P | R) \cdot P(R) + P(P | R') \cdot P(R')
]
[
P(P) = \left( \frac{13}{15} \cdot \frac{9}{10} \right) + \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} \right)
]
Посчитаем каждую из частей отдельно:
Для первой части:
[
\frac{13}{15} \cdot \frac{9}{10} = \frac{13 \cdot 9}{15 \cdot 10} = \frac{117}{150}
]
Для второй части:
[
\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{50}
]
Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для (150) и (50) равен (150):
[
\frac{1}{50} = \frac{3}{150}
]
Теперь можно сложить обе части:
[
P(P) = \frac{117}{150} + \frac{3}{150} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5}
]
Теперь, когда мы нашли, что вероятность того, что пшеница успешно перезимует, равна ( \frac{4}{5} ), мы можем найти вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют:
[
P(R \cap P) = P(R) \cdot P(P | R) = \frac{9}{10} \cdot \frac{13}{15}
]
Посчитаем:
[
P(R \cap P) = \frac{9 \cdot 13}{10 \cdot 15} = \frac{117}{150} = \frac{13}{50}
]
Таким образом, вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют, равна ( \frac{13}{50} ).
