2-3
Давайте разберем каждое задание:
Задание 1
Найти координаты точек пересечения прямой 3x - 4y = 5 с осями координат.
Найдем точку пересечения с осью X:
Когда прямая пересекает ось X, \( y = 0 \).
Подставляем в уравнение прямой: \[ 3x - 4(0) = 5 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \]
Координаты точки пересечения с осью X: \(\left(\frac{5}{3}, 0\right)\).
Найдем точку пересечения с осью Y:
Когда прямая пересекает ось Y, \( x = 0 \).
Подставляем в уравнение прямой: \[ 3(0) - 4y = 5 \implies -4y = 5 \implies y = -\frac{5}{4} \]
Координаты точки пересечения с осью Y: \((0, -\frac{5}{4})\).
Задание 2
Провести окружность, задание уравнением \(x^2 + y^2 = r^2\) через точки (0,6) и (-4,9).
Найдем радиус \(r\) окружности, проходящей через данные точки.
Подставляем координаты точки (0,6) в уравнение окружности: \[ 0^2 + 6^2 = r^2 \implies 36 = r^2 \implies r = 6 \]
Проверяем другую точку (-4,9): \[ (-4)^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \quad (\text{не равно } 36) \]
Таким образом, окружность радиуса 6 через обе точки не проходит.
Задание 3
Найти уравнение окружности с диаметром AB, если A(2,1) и B(3,2).
Найдем центр окружности:
Центр окружности — это середина отрезка AB, которую можно найти по формуле: \[ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]
Подставляем данные: \[ \left(\frac{2 + 3}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \]
Найдем радиус окружности:
Радиус — это половина длины диаметра. Длину отрезка AB можно найти по формуле: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ = \sqrt{(3-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
Радиус \( r = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Уравнение окружности:
Подставляем центр и радиус в уравнение окружности: \[ (x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \]
\[ (x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2} \]
Задание 4
Являются ли координаты верными при \(x_1= (-1; 0), (1; 4)\)?
Убедимся, лежат ли координаты на одной прямой.
Прямая, проходящая через две точки, может быть проверена уравнением. Например, найдем уравнение прямой по двум точкам.
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2 \]
Уравнение будет: \[ y = 2x + b \]
Подставим точку \((-1,0)\) для нахождения \(b\): \[ 0 = 2(-1) + b \implies b = 2 \]
Уравнение прямой: \[ y = 2x + 2 \]
Проверяем вторую точку \((1,4)\): \[ 4 = 2(1) + 2 = 4 \quad (\text{совпадает}) \]
Поэтому координаты точек лежат на одной прямой.
Если у вас есть дополнительные вопросы, напишите!
