Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла.
Для решения задачи о вероятности отказа узлов мы можем использовать модель биномиального распределения. Это связано с тем, что у нас есть фиксированное количество узлов и вероятность их отказов за заданный временной промежуток, которые происходят независимо друг от друга.
### Шаги для решения:
1. **Определим параметры задачи:**
- Количество узлов \( n = 10 \).
- Вероятность безотказной работы узла \( p = 0,8 \).
- Следовательно, вероятность отказа узла \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \).
- Нам нужно найти вероятность того, что откажут 4 узла, то есть \( k = 4 \).
2. **Используем формулу вероятности для биномиального распределения:**
Формула для вычисления вероятности, что произойдет \( k \) успехов (в данном случае — отказов) из \( n \) испытаний, выглядит следующим образом:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
где:
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
3. **Подставим известные значения в формулу:**
\[
P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{10 - 4}
\]
Подставим значения \( p = 0,8 \) и \( (1 - p) = 0,2 \):
\[
P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^6
\]
4. **Вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{10}{4} \):**
\[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
\]
5. **Вычислим вероятности:**
- \( (0,8)^4 = 0,4096 \)
- \( (0,2)^6 = 0,000064 \)
6. **Теперь подставим все вычисления в формулу:**
\[
P(X = 4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064
\]
Теперь вычислим это выражение:
\[
P(X = 4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 \approx 0,000138
\]
### Ответ:
Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( 0,000138 \) или 0,0138%.
