Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения задачи о вероятности отказа узлов мы можем использовать модель биномиального распределения. Это связано с тем, что у нас есть фиксированное количество узлов и вероятность их отказов за заданный временной промежуток, которые происходят независимо друг от друга.

Шаги для решения:

1. Определим параметры задачи:

   • Количество узлов \( n = 10 \).
   • Вероятность безотказной работы узла \( p = 0,8 \).
   • Следовательно, вероятность отказа узла \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \).
   • Нам нужно найти вероятность того, что откажут 4 узла, то есть \( k = 4 \).

2. Используем формулу вероятности для биномиального распределения: Формула для вычисления вероятности, что произойдет \( k \) успехов (в данном случае — отказов) из \( n \) испытаний, выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где:

   • \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

3. Подставим известные значения в формулу: \[ P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{10 - 4} \] Подставим значения \( p = 0,8 \) и \( (1 - p) = 0,2 \): \[ P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^6 \]

4. Вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{10}{4} \): \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

5. Вычислим вероятности:

   • \( (0,8)^4 = 0,4096 \)
   • \( (0,2)^6 = 0,000064 \)

6. Теперь подставим все вычисления в формулу: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 \] Теперь вычислим это выражение: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 \approx 0,000138 \]

Ответ:

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( 0,000138 \) или 0,0138%.