{ x/2-y/3=2 x/4+y/2=5

Давай решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \quad (1) \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \quad (2) \end{cases} \]

Шаг 1: Упрощение уравнений

Сначала избавимся от дробей, умножив оба уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Для уравнения (1):
Знаменатели 2 и 3, НОК(2, 3) = 6. Умножим все уравнение на 6:

\[ 6\left(\frac{x}{2}\right) - 6\left(\frac{y}{3}\right) = 6 \cdot 2 \]

Это упрощается до:

\[ 3x - 2y = 12 \quad (3) \]

Для уравнения (2):
Знаменатели 4 и 2, НОК(4, 2) = 4. Умножим на 4:

\[ 4\left(\frac{x}{4}\right) + 4\left(\frac{y}{2}\right) = 4 \cdot 5 \]

Это упрощается до:

\[ x + 2y = 20 \quad (4) \]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \quad (3) \\ x + 2y = 20 \quad (4) \end{cases} \]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь мы можем решать эту систему уравнений различными методами. Я покажу метод подстановки, используя второе уравнение (4).

Выразим \(x\) из уравнения (4):

\[ x = 20 - 2y \quad (5) \]

Теперь подставим \(x\) из уравнения (5) в уравнение (3):

\[ 3(20 - 2y) - 2y = 12 \]

Раскроем скобки:

\[ 60 - 6y - 2y = 12 \]

Объединим подобные члены:

\[ 60 - 8y = 12 \]

Теперь перенесем 60 на правую сторону:

\[ -8y = 12 - 60 \] \[ -8y = -48 \]

Теперь разделим обе стороны на -8:

\[ y = 6 \]

Шаг 3: Найдем значение \(x\)

Теперь, когда мы знаем \(y\), подставим его в уравнение (5) для нахождения \(x\):

\[ x = 20 - 2 \cdot 6 \] \[ x = 20 - 12 \] \[ x = 8 \]

Ответ

Таким образом, решение нашей системы уравнений:

\[ x = 8, \quad y = 6 \]

Шаг 4: Проверка

Проверим полученные значения в исходных уравнениях:

Для уравнения (1): \[ \frac{8}{2} - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2 \quad \text{(истинно)} \]

Для уравнения (2): \[ \frac{8}{4} + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5 \quad \text{(истинно)} \]

Всё верно, наши значения правильные. Получившиеся \(x\) и \(y\) удовлетворяют обоим уравнениям!