Давайте обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как ( v ) км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч.
- Скорость лодки по течению: ( v + 4 ) км/ч.
- Скорость лодки против течения: ( v - 4 ) км/ч.
Плот отправился из пункта A в пункт B и проплыл 32 км, а мы знаем, что расстояние от A до B — 45 км. Это значит, что плот движется по течению реки, и когда лодка вернулась в пункт A, плот уже прошел 32 км.
Так как плот отправился на 1 час раньше лодки, он успел проплыть 4 км по течению, и тогда осталось 28 км его пути.
Таким образом:
- Плот прошел 32 км, значит он еще не достиг пункта B. Он проплыл 32 км, и до пункта B осталось 13 км (45 км - 32 км).
- Время, за которое моторная лодка проплыла от A до B и обратно, обозначим как ( t ) часов. За это время плот проплыл 32 км.
Теперь по времени:
- Время, за которое плот проплыл 32 км, равно ( t + 1 ) часам, так как он на один час уехал раньше лодки.
[
\frac{32}{4} = t + 1 \implies 8 = t + 1 \implies t = 7 \text{ часов}
]
Теперь найдем время, за которое лодка проплывает от A до B.
- От A до B лодка идет со скоростью ( v + 4 ):
[
t_1 = \frac{45}{v + 4}
]
- Возвращение от B до A со скоростью ( v - 4 ):
[
t_2 = \frac{45}{v - 4}
]
Общее время в пути лодки:
[
t = t_1 + t_2 = \frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4}
]
Мы знаем, что ( t = 7 ) часов, тогда получаем уравнение:
[
\frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4} = 7
]
Умножим обе стороны на ( (v + 4)(v - 4) ):
[
45(v - 4) + 45(v + 4) = 7(v^2 - 16)
]
Упрощаем:
[
45v - 180 + 45v + 180 = 7v^2 - 112
]
[
90v = 7v^2 - 112
]
[
7v^2 - 90v - 112 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-112)
]
[
= 8100 + 3136 = 11236
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 \pm \sqrt{11236}}{2 \cdot 7}
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{11236} \approx 106
]
Следовательно:
[
v_1 = \frac{90 + 106}{14} \approx 13.71 \text{ км/ч}
]
[
v_2 = \frac{90 - 106}{14} \approx -1.14 \text{ км/ч (не имеет смысла)}
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде примерно равна ( 13.71 ) км/ч.
