3log4²(x)-7log4(x) +2<0

Решим неравенство \( 3\log_4^2(x) - 7\log_4(x) + 2 < 0 \). 1. **Пусть** \( y = \log_4(x) \). Тогда мы можем переписать неравенство как: \[ 3y^2 - 7y + 2 < 0 \] 2. **Решим квадратное неравенство.** Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: \[ 3y^2 - 7y + 2 = 0 \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] Теперь найдем корни: \[ y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{6} \] Это дает два корня: \[ y_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad y_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 3. **Теперь можем записать разложение:** \[ 3y^2 - 7y + 2 = 3(y - 2)(y - \frac{1}{3}) \] 4. **Найдем интервалы, на которых производное выражение меньше нуля.** Исследуем знак произведения \( 3(y - 2)(y - \frac{1}{3}) < 0 \). Определим интервалы: - Корни: \( y = \frac{1}{3} \) и \( y = 2 \). - Рассмотрим интервалы: - \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) - \( \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \) - \( (2, +\infty) \) 5. **Проведем тест на знаки:** - Для \( y < \frac{1}{3} \): \( (y - 2) < 0 \) и \( (y - \frac{1}{3}) < 0 \) ⇒ \( 3 \cdot (-) \cdot (-) > 0 \). - Для \( \frac{1}{3} < y < 2 \): \( (y - 2) < 0 \) и \( (y - \frac{1}{3}) > 0 \) ⇒ \( 3 \cdot (-) \cdot (+) < 0 \). - Для \( y > 2 \): \( (y - 2) > 0 \) и \( (y - \frac{1}{3}) > 0 \) ⇒ \( 3 \cdot (+) \cdot (+) > 0 \). 6. **Следовательно, неравенство выполняется на интервале \( \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \):** \[ y \in \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \] 7. **Теперь вернемся к \( x \). Поскольку \( y = \log_4(x) \) :** - \( \log_4(x) > \frac{1}{3} \) ⇒ \( x > 4^{\frac{1}{3}} \) ⇒ \( x > \sqrt[3]{4} \). - \( \log_4(x) < 2 \) ⇒ \( x < 4^2 \) ⇒ \( x < 16 \). 8. **Итак, конечный ответ:** \[ \sqrt[3]{4} < x < 16 \] Таким образом, решением неравенства будет интервал: \[ x \in \left( \sqrt[3]{4}, 16 \right) \] Надеюсь, что это поможет вам понять, как решать подобные неравенства! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.