3log4²(x)-7log4(x) +2<0
Решим неравенство \( 3\log_4^2(x) - 7\log_4(x) + 2 < 0 \).
Пусть \( y = \log_4(x) \). Тогда мы можем переписать неравенство как:
\[ 3y^2 - 7y + 2 < 0 \]
Решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
\[ 3y^2 - 7y + 2 = 0 \]
Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \]
Теперь найдем корни:
\[ y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{6} \]
Это дает два корня:
\[ y_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad y_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Теперь можем записать разложение:
\[ 3y^2 - 7y + 2 = 3(y - 2)(y - \frac{1}{3}) \]
Найдем интервалы, на которых производное выражение меньше нуля. Исследуем знак произведения \( 3(y - 2)(y - \frac{1}{3}) < 0 \). Определим интервалы:
- Корни: \( y = \frac{1}{3} \) и \( y = 2 \).
- Рассмотрим интервалы:
- \( (-\infty, \frac{1}{3}) \)
- \( \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \)
- \( (2, +\infty) \)
Проведем тест на знаки:
- Для \( y < \frac{1}{3} \): \( (y - 2) < 0 \) и \( (y - \frac{1}{3}) < 0 \) ⇒ \( 3 \cdot (-) \cdot (-) > 0 \).
- Для \( \frac{1}{3} < y < 2 \): \( (y - 2) < 0 \) и \( (y - \frac{1}{3}) > 0 \) ⇒ \( 3 \cdot (-) \cdot (+) < 0 \).
- Для \( y > 2 \): \( (y - 2) > 0 \) и \( (y - \frac{1}{3}) > 0 \) ⇒ \( 3 \cdot (+) \cdot (+) > 0 \).
Следовательно, неравенство выполняется на интервале \( \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \):
\[ y \in \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \]
Теперь вернемся к \( x \). Поскольку \( y = \log_4(x) \) :
- \( \log_4(x) > \frac{1}{3} \) ⇒ \( x > 4^{\frac{1}{3}} \) ⇒ \( x > \sqrt[3]{4} \).
- \( \log_4(x) < 2 \) ⇒ \( x < 4^2 \) ⇒ \( x < 16 \).
Итак, конечный ответ:
\[ \sqrt[3]{4} < x < 16 \]
Таким образом, решением неравенства будет интервал:
\[ x \in \left( \sqrt[3]{4}, 16 \right) \]
Надеюсь, что это поможет вам понять, как решать подобные неравенства! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
