Реши пример

Для разложения многочлена \( t^3 - t^2 - 0.5t + 0.125 \) на множители начнем с поиска рациональных корней. Попробуем использовать теорему о рациональных корнях. ## Теорема о рациональных корнях Для многочлена \( at^n + bt^{n-1} + \ldots + z \), возможные рациональные корни имеют вид \( \frac{p}{q} \), где \( p \) — делители свободного члена, а \( q \) — делители коэффициента при старшей степени (в данном случае \( t^3 \)). ### 1. Определение коэффициентов Многочлен: \( t^3 - t^2 - 0.5t + 0.125 \). Свободный член: 0.125. Коэффициент при \( t^3 \): 1. Делители 0.125: \( \pm 0.125, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 1 \). Делители 1: \( \pm 1 \). Возможные рациональные корни: \( \pm 0.125, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 1 \). ### 2. Проверка корней Проверим \( t = 0.5 \): \[ t^3 - t^2 - 0.5t + 0.125 = (0.5)^3 - (0.5)^2 - 0.5 \cdot (0.5) + 0.125 = 0.125 - 0.25 - 0.25 + 0.125 = 0 \] \( t = 0.5 \) — корень многочлена. ### 3. Деление многочлена на \( t - 0.5 \) Теперь разделим многочлен \( t^3 - t^2 - 0.5t + 0.125 \) на \( t - 0.5 \) с помощью метода деления многочлена. \[ t^3 - t^2 - 0.5t + 0.125 = (t - 0.5)(t^2 + at + b) \] 1. Разделяем \( t^3 \) на \( t \), получаем \( t^2 \). 2. Умножаем и вычитаем: \( t^3 - 0.5t^2 \), вычитая, получаем \( -0.5t^2 - 0.5t \). 3. Разделяем \( -0.5t^2 \) на \( t \), получаем \( -0.5t \). 4. Умножаем и вычитаем: \( -0.5t^2 + 0.25t \), вычитая, получаем \( -0.75t + 0.125 \). 5. Разделяем \( -0.75t \) на \( t \), получаем \( -0.75 \). 6. Умножаем и вычитаем: \( -0.75t + 0.375 \), вычитая, получаем \( -0.25 \). Результат деления: \( t^2 + 0.5t - 0.25 \). ### 4. Разложение оставшегося квадратного трехчлена Трехчлен: \( t^2 + 0.5t - 0.25 \). Ищем корни через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (0.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.25) = 0.25 + 1 = 1.25 \] Корни: \[ t_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0.5 \pm \sqrt{1.25}}{2} \] \[ t_1 = \frac{-0.5 + \sqrt{1.25}}{2}, \quad t_2 = \frac{-0.5 - \sqrt{1.25}}{2} \] Поскольку корни иррациональны, оставим так. ### Итог Разложение многочлена: \[ t^3 - t^2 - 0.5t + 0.125 = (t - 0.5)(t^2 + 0.5t - 0.25) \] Таким образом, многочлен разложен на множители.