В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1:8. Найдите осно-вания трапеции и её площадь. реши кратко пару действий

Для решения задачи о прямоугольной трапеции, где один угол равен 135°, средняя линия равна 18 см, и основания относятся как 1:8, следуем следующим шагам:

1. Обозначим основания: Пусть длины оснований трапеции будут \( a \) и \( b \), где \( a \) — меньшее основание, а \( b \) — большее. По условию, основания относятся как 1:8, значит: \[ b = 8a \]

2. Используем данные о средней линии: Средняя линия (параллельная сторона, соединяющая середины боковых сторон) прямоугольной трапеции равна половине суммы оснований: \[ \text{Средняя линия} = \frac{a + b}{2} \]

   Подставим значение средней линии и \( b \): \[ 18 = \frac{a + 8a}{2} \] \[ 18 = \frac{9a}{2} \]

3. Решим уравнение для a: Умножим обе стороны на 2: \[ 36 = 9a \] Теперь делим на 9: \[ a = 4 \, \text{см} \]

4. Найдём b: Подставим \( a \) в выражение для \( b \): \[ b = 8a = 8 \times 4 = 32 \, \text{см} \]

5. Определим высоту трапеции: В прямоугольной трапеции угол в 135° означает, что угол между высотой и большей основой равен 45°. Это значит, что высота трапеции равна боковой стороне. Таким образом, так как высота образует равнобедренный треугольник с основанием \( b-a = 32 - 4 = 28 \) см: \[ h = 28 \cdot \tan(45^\circ) = 28 \, \text{см} \]

6. Вычисляем площадь: Площадь \( S \) трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Подставим значения: \[ S = \frac{(4 + 32) \cdot 28}{2} = \frac{36 \cdot 28}{2} = \frac{1008}{2} = 504 \, \text{см}^2 \]

7. Ответ: Основания трапеции \( a = 4 \, \text{см} \) и \( b = 32 \, \text{см} \), площадь трапеции \( S = 504 \, \text{см}^2 \).